Determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função dada no ponto z = x -6y2 nos pontos (-1,- 1, f (-1,- 1))

Para determinar a equação do plano tangente ao gráfico da função \( z = f(x, y) = x - 6y^2 \) no ponto \((-1, -1)\), siga os passos abaixo: 1. Calcule \( f(-1, -1) \): \[ f(-1, -1) = -1 - 6(-1)^2 = -1 - 6 = -7 \] Portanto, o ponto é \((-1, -1, -7)\). 2. Calcule as derivadas parciais: - Derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 1 \] - Derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -12y \] Avaliando em \( y = -1 \): \[ f_y(-1) = -12(-1) = 12 \] 3. Equação do plano tangente: A equação do plano tangente é dada por: \[ z = f(a, b) + f_x(a, b)(x - a) + f_y(a, b)(y - b) \] Substituindo \( a = -1 \), \( b = -1 \), \( f(-1, -1) = -7 \), \( f_x(-1, -1) = 1 \) e \( f_y(-1, -1) = 12 \): \[ z = -7 + 1(x + 1) + 12(y + 1) \] 4. Simplificando: \[ z = -7 + x + 1 + 12y + 12 = x + 12y + 6 \] Portanto, a equação do plano tangente ao gráfico da função no ponto \((-1, -1)\) é: \[ z = x + 12y + 6 \]