Para determinar a derivada direcional da função \( f(x, y) = \frac{2x^2}{y} + 5 \) na direção do vetor \( \mathbf{u} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right) \), precisamos seguir alguns passos. 1. Calcular o gradiente da função \( f \): O gradiente \( \nabla f \) é dado por: \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] Calculando as derivadas parciais: - \( \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{4x}{y} \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{2x^2}{y^2} \) Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f = \left( \frac{4x}{y}, -\frac{2x^2}{y^2} \right) \] 2. Avaliar o gradiente no ponto \( (1, 1) \): Substituindo \( x = 1 \) e \( y = 1 \): \[ \nabla f(1, 1) = \left( \frac{4 \cdot 1}{1}, -\frac{2 \cdot 1^2}{1^2} \right) = (4, -2) \] 3. Calcular a derivada direcional: A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \] onde \( \mathbf{u} \) é o vetor unitário na direção desejada. Calculando o produto escalar: \[ D_{\mathbf{u}} f = (4, -2) \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2} \right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \] \[ = 2\sqrt{3} + 1 \] Portanto, a derivada direcional da função na direção do vetor dado é \( 2\sqrt{3} + 1 \). A alternativa correta é: B) \( 2\sqrt{3} + 1 \).