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08. (UFRR–2017) Sejam P1(x) = x3 + x2 – x – 1 e P2(x) = x3 + 3x2 + 3x + 1 polinômios tais que α é raiz real de P1(x). Então, P2(α) é igual a

A) 10 ou 13.
B) 9 ou 7.
C) 8 ou 0.
D) 11 ou 20.
E) 12 ou 19.
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Volume 6-2-34
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Para resolver a questão, precisamos primeiro entender que \( \alpha \) é uma raiz do polinômio \( P_1(x) \). Isso significa que \( P_1(\alpha) = 0 \). O polinômio \( P_1(x) \) é dado por: \[ P_1(x) = x^3 + x^2 - x - 1 \] Substituindo \( \alpha \): \[ P_1(\alpha) = \alpha^3 + \alpha^2 - \alpha - 1 = 0 \] Portanto, podemos expressar \( \alpha^3 \) em termos de \( \alpha \): \[ \alpha^3 = -\alpha^2 + \alpha + 1 \] Agora, vamos calcular \( P_2(\alpha) \): \[ P_2(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \] Substituindo \( \alpha \): \[ P_2(\alpha) = \alpha^3 + 3\alpha^2 + 3\alpha + 1 \] Substituindo \( \alpha^3 \) na expressão de \( P_2(\alpha) \): \[ P_2(\alpha) = (-\alpha^2 + \alpha + 1) + 3\alpha^2 + 3\alpha + 1 \] \[ P_2(\alpha) = -\alpha^2 + \alpha + 1 + 3\alpha^2 + 3\alpha + 1 \] \[ P_2(\alpha) = (3\alpha^2 - \alpha^2) + (3\alpha + \alpha) + (1 + 1) \] \[ P_2(\alpha) = 2\alpha^2 + 4\alpha + 2 \] Agora, precisamos avaliar essa expressão. Como não temos o valor exato de \( \alpha \), vamos considerar que \( P_1(\alpha) = 0 \) e tentar simplificar. Se \( \alpha \) for uma raiz de \( P_1(x) \), podemos tentar valores que satisfaçam \( P_1(x) = 0 \) e ver qual valor de \( P_2(\alpha) \) se encaixa nas opções. Após testar alguns valores, encontramos que \( \alpha = 1 \) é uma raiz de \( P_1(x) \): \[ P_1(1) = 1^3 + 1^2 - 1 - 1 = 0 \] Agora, substituindo \( \alpha = 1 \) em \( P_2 \): \[ P_2(1) = 1^3 + 3(1^2) + 3(1) + 1 = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 \] Portanto, a resposta correta é: C) 8 ou 0.

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01. (UECE–2019) Considere os polinômios m(x) = x2 – 3x + 2, n(x) = x2 – 4x + 3 e q(x) = x3 – x2 – 4x + 4, que têm como fator comum o polinômio f(x) = x – 1. Se P(x) = m(x).n(x).q(x), a soma das raízes distintas da equação polinomial P(x) = 0 é igual a

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B) 6.
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02. (Insper-SP) A figura, feita fora de escala, representa a planta de uma sala de aula que conta com uma área para armários dos alunos (parte hachurada). Área da sala, incluindo os armários = 131 m2 (excluindo o hall de entrada) A sala está sendo projetada de modo que o teto fique a uma distância de x metros do chão e, para que haja uma ventilação adequada, o volume total da sala mais o hall de entrada, descontando-se o espaço dos armários (que vão até o teto), deve ser de 280 m3. O menor valor de x que atende a todas essas condições é

A) 5.
B) 6.
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03. (Mackenzie-SP–2015) Seja P(x) = 2x3 – 11x2 + 17x – 6 um polinômio do 3º grau e 2x – 1 um de seus fatores. A média aritmética das raízes de P(x) é

A) 7/2.
B) 8/2.
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04. (FGV-SP) O polinômio P(x) = x4 – 5x3 + 3x2 + 5x – 4 tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a

A) 5.
B) 4.
C) 3.
D) 2.
E) 1.

05. (UFPB) Uma organização não governamental desenvolveu um projeto de reciclagem de papel em um bairro popular de uma cidade, com o objetivo de contribuir com a política ambiental e gerar renda para as famílias carentes do bairro. A partir da catação do papel e utilizando um processo artesanal, as famílias produzem folhas de papelão em formato retangular medindo 21 cm × 42 cm. Um empresário local propôs comprar toda a produção mensal da comunidade para produzir caixas de papelão, em formato de paralelepípedo reto-retângulo, com volume igual a 810 cm3. Considerando que uma possibilidade para a medida x do lado do quadrado a ser recortado é 3 cm, é correto afirmar que outro valor possível, em centímetros, para a medida x, pertence ao intervalo

A) (1, 3).
B) (3, 5).
C) (5, 7).
D) (7, 9).
E) (9, 11).

06. (UNITAU-SP–2016) Considere a função polinomial g(x) = ax4 + bx3 + cx2+ dx + e. Sabendo-se que suas raízes são –2; 3; 4 e 5, e que g(0) = –240, é correto afirmar que g(6) é

A) 0.
B) 48.
C) 96.
D) 144.
E) 192.

07. (Ibmec-SP) As quantidades de raízes reais dos polinômios p(x) = x4 + 10, q(x) = 10x2 + 1 e r(x) = p(x) – q(x) são, respectivamente,

A) 0, 0 e 4.
B) 4, 0 e 4.
C) 0, 2 e 2.
D) 4, 2 e 2.
E) 4, 2 e 4.

09. (Mackenzie-SP–2016) A equação 2x3 + 3x2 – 3x – 2 = 0 tem como raízes − 1/2, m e n. Então, mn é igual a

A) –1 ou 0.
B) − 1/2 ou 2.
C) –2 ou –1.
D) 1/2 ou − 1/2.
E) –2 ou 1.

10. (UDESC–2015) Um polinômio p(x) possui grau 4 e é divisível simultaneamente por f(x) = x2 + 5 e por g(x) = 2x – 3. Se p satisfizer as condições p(–1) = 150 e p(2) = 63, então a soma de todos os seus coeficientes é igual a:

A) –18.
B) –6.
C) –8.
D) –33.
E) –25.

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