O que é a integral de \( \int_0^2 (x^2 + 2x) \, dx \)? a) 4 b) 6 c) 8 d) 10

Para resolver a integral \( \int_0^2 (x^2 + 2x) \, dx \), vamos calcular passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( x^2 \) é \( \frac{x^3}{3} \). - A antiderivada de \( 2x \) é \( x^2 \). - Portanto, a antiderivada de \( x^2 + 2x \) é \( \frac{x^3}{3} + x^2 \). 2. Avaliar a integral definida: - Agora, precisamos avaliar de 0 a 2: \[ \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^2 = \left( \frac{2^3}{3} + 2^2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0^2 \right) \] - Calculando: \[ = \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - 0 = \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \] 3. Comparar com as alternativas: - As alternativas dadas são 4, 6, 8 e 10. O resultado \( \frac{20}{3} \) é aproximadamente 6.67, que não corresponde a nenhuma das opções. Parece que houve um erro nas opções, pois a resposta correta não está listada. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.