20 — Prove que u· (u× v) = v· (u× v) = 0 de dois modos: primeiro calculando diretamente e segundo utilizando as propriedades de u× v.

Para provar que \( u \cdot (u \times v) = 0 \) e \( v \cdot (u \times v) = 0 \), vamos fazer isso em duas etapas. 1. Cálculo Direto: - O produto vetorial \( u \times v \) é um vetor que é perpendicular tanto a \( u \) quanto a \( v \). Portanto, o produto escalar de \( u \) com \( u \times v \) é zero, pois dois vetores perpendiculares têm produto escalar igual a zero: \[ u \cdot (u \times v) = 0 \] - Da mesma forma, como \( u \times v \) é perpendicular a \( v \), temos: \[ v \cdot (u \times v) = 0 \] 2. Usando Propriedades do Produto Vetorial: - Uma das propriedades do produto vetorial é que o resultado é um vetor perpendicular aos vetores que foram multiplicados. Assim, \( u \times v \) é perpendicular a \( u \) e \( v \). - Portanto, pela definição do produto escalar, temos: \[ u \cdot (u \times v) = 0 \quad \text{(porque } u \times v \text{ é perpendicular a } u\text{)} \] \[ v \cdot (u \times v) = 0 \quad \text{(porque } u \times v \text{ é perpendicular a } v\text{)} \] Assim, ambas as igualdades estão provadas.