24 — Mostrar que (−5, 0) , (0, 2) e (0,−2) são os vértices de um triângulo isósceles e achar sua área.

Para mostrar que os pontos \((-5, 0)\), \((0, 2)\) e \((0, -2)\) são os vértices de um triângulo isósceles, precisamos calcular as distâncias entre os pontos. 1. Cálculo das distâncias: - Distância entre \((-5, 0)\) e \((0, 2)\): \[ d_1 = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(5)^2 + (2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \] - Distância entre \((-5, 0)\) e \((0, -2)\): \[ d_2 = \sqrt{(0 - (-5))^2 + (-2 - 0)^2} = \sqrt{(5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29} \] - Distância entre \((0, 2)\) e \((0, -2)\): \[ d_3 = \sqrt{(0 - 0)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{0 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4 \] 2. Verificação do triângulo isósceles: Como \(d_1 = d_2 = \sqrt{29}\) e \(d_3 = 4\), temos um triângulo isósceles, pois duas distâncias são iguais. 3. Cálculo da área do triângulo: Podemos usar a fórmula da área para um triângulo com vértices em coordenadas: \[ A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Substituindo os pontos \((-5, 0)\), \((0, 2)\) e \((0, -2)\): \[ A = \frac{1}{2} \left| -5(2 - (-2)) + 0(-2 - 0) + 0(0 - 2) \right| \] \[ A = \frac{1}{2} \left| -5(4) \right| = \frac{1}{2} \times 20 = 10 \] Portanto, a área do triângulo é \(10\) unidades quadradas.