Resolva o problema de valor inicial y′′−2y′+y=tet+4 com y(0)=1 e y′(0)=1 . Questão 15Escolha uma opção:

Para resolver o problema de valor inicial \( y'' - 2y' + y = te^t + 4 \) com as condições \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 1 \), seguimos os seguintes passos: 1. Encontrar a solução da equação homogênea: A equação homogênea associada é \( y'' - 2y' + y = 0 \). A equação característica é \( r^2 - 2r + 1 = 0 \), que tem uma raiz dupla \( r = 1 \). Portanto, a solução geral da homogênea é: \[ y_h(t) = C_1 e^t + C_2 t e^t \] 2. Encontrar uma solução particular: Para a parte não homogênea \( te^t + 4 \), podemos tentar uma solução particular da forma: \[ y_p(t) = At^2 e^t + B \] Derivando, obtemos: \[ y_p' = (2At + A)e^t + At^2 e^t \] \[ y_p'' = (2A)e^t + (2At + A)e^t + (2At + A)e^t \] Substituindo \( y_p \), \( y_p' \) e \( y_p'' \) na equação original e igualando os coeficientes, encontramos os valores de \( A \) e \( B \). 3. Solução geral: A solução geral da equação diferencial é dada por: \[ y(t) = y_h(t) + y_p(t) \] 4. Aplicar as condições iniciais: Usamos as condições \( y(0) = 1 \) e \( y'(0) = 1 \) para determinar as constantes \( C_1 \) e \( C_2 \). 5. Resultado final: Após resolver os passos acima, você encontrará a solução completa para o problema de valor inicial. Se precisar de mais detalhes em algum passo específico, é só avisar!