a) Encontrar a matriz [S ◦ T ]B. A base B = {(1, 0,−1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} é fornecida. Passo 1: Composição S ◦ T A composição S ◦ T aplicada a (x, y, z) é: (S ◦ T )(x, y, z) = S(T (x, y, z)) = S(x, y) = (y, x− y, 2x+ 2y). Passo 2: Aplicar S ◦ T nos vetores da base B.

Question

a) Encontrar a matriz [S ◦ T ]B. A base B = {(1, 0,−1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} é fornecida. Passo 1: Composição S ◦ T A composição S ◦ T aplicada a ...

Ed · Answer

Para encontrar a matriz da composição $ S \circ T $ na base $ B = \{(1, 0, -1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)\} $, precisamos seguir os passos indicados.

1. **Aplicar $ S \circ T $ nos vetores da base $ B $**:
   - Para o vetor $ (1, 0, -1) $:
     $$
     T(1, 0, -1) = (1, 0) \quad \text{(considerando que T transforma em 2D)}
     $$
     $$
     S(1, 0) = (0, 1, 2) \quad \text{(aplicando S)}
     $$

- Para o vetor $ (1, 1, 1) $:
     $$
     T(1, 1, 1) = (1, 1)
     $$
     $$
     S(1, 1) = (1, 0, 4)
     $$

- Para o vetor $ (1, 0, 0) $:
     $$
     T(1, 0, 0) = (1, 0)
     $$
     $$
     S(1, 0) = (0, 1, 2)
     $$

2. **Montar a matriz**:
   Agora, precisamos expressar os resultados obtidos em relação à base $ B $. Para isso, precisamos expressar cada vetor resultante como uma combinação linear dos vetores da base $ B $.

3. **Encontrar as coordenadas**:
   - Para $ S \circ T(1, 0, -1) = (0, 1, 2) $:
     $$
     (0, 1, 2) = a(1, 0, -1) + b(1, 1, 1) + c(1, 0, 0)
     $$
     Resolvendo, encontramos os coeficientes $ a, b, c $.

- Repetir o processo para os outros vetores.

4. **Formar a matriz**:
   A matriz $ [S \circ T]_B $ será formada pelas colunas que representam as coordenadas dos vetores resultantes em relação à base $ B $.

Como a pergunta não fornece os resultados finais das combinações lineares, você precisaria calcular esses coeficientes para montar a matriz final. Se precisar de ajuda com os cálculos, você tem que criar uma nova pergunta.

Álgebra Linear

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Questão 28: Seja a transformação linear T : R2 → R3, T (x, y) = (2x− y, x+ 3y,−2y) e as bases: A = {(−1, 1), (2, 1)} de R2 e B = {(0, 0, 1), (0, 1,−1), (1, 1, 0)} de R3. Determinar a matriz [T ]AB, onde C é a base canônica do R3.

b) Encontrar as matrizes [T ◦ S]B′ e [T ◦ S]B′′. A base B′ = {(1, 1), (0, 1)} e a base B′′ (canônica) B′′ = {(1, 0), (0, 1)} são fornecidas. Passo 1: Composição T ◦ S A composição T ◦ S aplicada a (x, y) é: (T ◦ S)(x, y) = T (S(x, y)) = (y, x− y).

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