Determine o valor do produto (2x – y)2, sabendo que 4x2 + y2 = 8 e xy= 2. a. 0 b. 1 c. 2 d. 4 e. 8

Para resolver a questão, vamos usar as informações dadas: 1. Temos as equações: - \( 4x^2 + y^2 = 8 \) - \( xy = 2 \) 2. Precisamos determinar o valor de \( (2x - y)^2 \). Primeiro, vamos expressar \( y \) em termos de \( x \) usando a segunda equação: \[ y = \frac{2}{x} \] Agora, substituímos \( y \) na primeira equação: \[ 4x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2 = 8 \] \[ 4x^2 + \frac{4}{x^2} = 8 \] Multiplicamos toda a equação por \( x^2 \) para eliminar a fração: \[ 4x^4 - 8x^2 + 4 = 0 \] Dividindo toda a equação por 4: \[ x^4 - 2x^2 + 1 = 0 \] Isso é uma equação quadrática em \( x^2 \). Vamos fazer a substituição \( z = x^2 \): \[ z^2 - 2z + 1 = 0 \] \[ (z - 1)^2 = 0 \] Portanto, \( z = 1 \), o que implica que: \[ x^2 = 1 \] Assim, \( x = 1 \) ou \( x = -1 \). Agora, substituímos \( x \) de volta para encontrar \( y \): Se \( x = 1 \): \[ y = \frac{2}{1} = 2 \] Se \( x = -1 \): \[ y = \frac{2}{-1} = -2 \] Agora, vamos calcular \( (2x - y)^2 \): 1. Para \( x = 1 \) e \( y = 2 \): \[ (2(1) - 2)^2 = (2 - 2)^2 = 0^2 = 0 \] 2. Para \( x = -1 \) e \( y = -2 \): \[ (2(-1) - (-2))^2 = (-2 + 2)^2 = 0^2 = 0 \] Em ambos os casos, o resultado é 0. Portanto, a resposta correta é: a) 0.