Para que os pontos A(3k+2; -1), B(2; 3) e C(-1; 4) sejam vértices de um triângulo, eles não podem ser colineares. Isso significa que o determinante formado pelas coordenadas dos pontos deve ser diferente de zero. O determinante para os pontos A, B e C é dado por: \[ \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3k+2 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 4 & 1 \end{vmatrix} \] Calculando esse determinante, temos: \[ (3k+2)(3 \cdot 1 - 4 \cdot 1) - (-1)(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + 1(2 \cdot 4 - 3 \cdot (-1)) \] Simplificando: \[ (3k+2)(3 - 4) - (-1)(2 + 1) + 1(8 + 3) \] \[ = (3k+2)(-1) + 3 + 11 \] \[ = -3k - 2 + 3 + 11 \] \[ = -3k + 12 \] Para que os pontos não sejam colineares, o determinante deve ser diferente de zero: \[ -3k + 12 \neq 0 \] Resolvendo a equação: \[ -3k \neq -12 \implies k \neq 4 \] Portanto, a condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo é: k ≠ 4.