Exemplo 17. (Olimṕıada Russa 1964) Sejam x, y inteiros para os quais a fração a = x2 + y2 / xy é inteira. Ache todos os posśıveis valores de a.

Para resolver o problema, começamos com a fração \( a = \frac{x^2 + y^2}{xy} \). Podemos reescrever essa fração como: \[ a = \frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \] Se definirmos \( t = \frac{x}{y} \), então temos: \[ a = t + \frac{1}{t} \] Para que \( a \) seja um número inteiro, \( t + \frac{1}{t} \) deve ser um inteiro. Vamos analisar isso: 1. Se \( t \) é um número inteiro, então \( a = t + \frac{1}{t} \) será um inteiro. 2. Se \( t \) não é um inteiro, mas \( t = \frac{p}{q} \) (onde \( p \) e \( q \) são inteiros), então: \[ a = \frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{p^2 + q^2}{pq} \] Para que \( a \) seja um inteiro, \( p^2 + q^2 \) deve ser divisível por \( pq \). Agora, vamos considerar os casos em que \( t \) é um número inteiro: - Se \( t = 1 \), então \( a = 1 + 1 = 2 \). - Se \( t = -1 \), então \( a = -1 - 1 = -2 \). - Se \( t = 2 \), então \( a = 2 + \frac{1}{2} = 2.5 \) (não é inteiro). - Se \( t = -2 \), então \( a = -2 - \frac{1}{2} = -2.5 \) (não é inteiro). Continuando essa análise, podemos ver que os únicos valores inteiros que \( a \) pode assumir são \( 2 \) e \( -2 \). Portanto, os possíveis valores de \( a \) são: \[ \boxed{2 \text{ e } -2} \]