Problema 7. Qual é o maior valor possível para mdc(n+ 1, n3 + 5)?

Para encontrar o maior valor possível para \( \text{mdc}(n + 1, n^3 + 5) \), podemos usar a propriedade do mdc que diz que \( \text{mdc}(a, b) = \text{mdc}(a, b - k \cdot a) \) para qualquer inteiro \( k \). Vamos aplicar isso: 1. Temos \( a = n + 1 \) e \( b = n^3 + 5 \). 2. Vamos calcular \( n^3 + 5 \) em relação a \( n + 1 \): \[ n^3 + 5 = (n + 1)(n^2 - n + 1) + 4 \] Portanto, podemos reescrever: \[ \text{mdc}(n + 1, n^3 + 5) = \text{mdc}(n + 1, 4) \] 3. Agora, precisamos encontrar \( \text{mdc}(n + 1, 4) \). O valor de \( n + 1 \) pode ser 1, 2, 3, 4, etc. Assim, os possíveis valores de \( \text{mdc}(n + 1, 4) \) são: - Se \( n + 1 \) for ímpar (1, 3, 5, ...), o mdc será 1. - Se \( n + 1 = 2 \) ou \( n + 1 = 4 \), o mdc será 2 ou 4, respectivamente. Portanto, o maior valor possível para \( \text{mdc}(n + 1, n^3 + 5) \) é 4, que ocorre quando \( n + 1 = 4 \) (ou seja, \( n = 3 \)).