Exemplo 20. (Olimṕıada Russa 1995) Sejam m e n interios positivos tais que: mmc(m,n) +mdc(m,n) = m+ n. Prove que um deles é diviśıvel pelo o outro.

Para provar que um dos números \( m \) ou \( n \) é divisível pelo outro, vamos usar a relação dada: \[ \text{mmc}(m,n) + \text{mdc}(m,n) = m + n. \] Vamos denotar \( d = \text{mdc}(m,n) \). Assim, podemos escrever \( m \) e \( n \) como: \[ m = dk \quad \text{e} \quad n = dj, \] onde \( k \) e \( j \) são inteiros positivos que não têm fatores comuns (ou seja, \( \text{mdc}(k,j) = 1 \)). A partir disso, podemos calcular o mmc: \[ \text{mmc}(m,n) = \frac{m \cdot n}{\text{mdc}(m,n)} = \frac{dk \cdot dj}{d} = dkj. \] Substituindo na equação original, temos: \[ dkj + d = dk + dj. \] Fatorando \( d \) do lado esquerdo, obtemos: \[ d(kj + 1) = d(k + j). \] Se \( d \neq 0 \) (o que é verdade, pois \( m \) e \( n \) são positivos), podemos dividir ambos os lados por \( d \): \[ kj + 1 = k + j. \] Rearranjando, temos: \[ kj - k - j + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad (k-1)(j-1) = 1. \] As únicas soluções inteiras positivas para essa equação são \( (k-1, j-1) = (1, 1) \), o que implica que \( k = 2 \) e \( j = 2 \). Assim, temos \( m = 2d \) e \( n = 2d \), o que significa que \( m \) e \( n \) são iguais e, portanto, cada um é divisível pelo outro. Assim, provamos que um dos números é divisível pelo outro.