Problema 10. Qual é o menor valor positivo de N, tal que existem inteiros x e y satisfazendo 2013x + 3102y = N?

Para encontrar o menor valor positivo de \( N \) tal que existem inteiros \( x \) e \( y \) satisfazendo a equação \( 2013x + 3102y = N \), precisamos determinar o máximo divisor comum (MDC) entre 2013 e 3102. 1. Calcular o MDC: - Usamos o algoritmo de Euclides: - \( 3102 = 2013 \times 1 + 1089 \) - \( 2013 = 1089 \times 1 + 924 \) - \( 1089 = 924 \times 1 + 165 \) - \( 924 = 165 \times 5 + 99 \) - \( 165 = 99 \times 1 + 66 \) - \( 99 = 66 \times 1 + 33 \) - \( 66 = 33 \times 2 + 0 \) O último resto não nulo é 33, então \( \text{MDC}(2013, 3102) = 33 \). 2. Conclusão: O menor valor positivo de \( N \) que pode ser expresso na forma \( 2013x + 3102y \) é o próprio MDC, que é 33. Portanto, a resposta é \( N = 33 \).