Para entender o que é um espaço topológico localmente compacto, precisamos analisar a definição. Um espaço topológico é considerado localmente compacto se, para cada ponto do espaço, existe uma vizinhança desse ponto que é compacta. Agora, vamos analisar as alternativas: A) Um espaço que é compacto em toda sua extensão. - Isso descreve um espaço compacto, não localmente compacto. B) Um espaço onde cada ponto tem uma vizinhança que é compacta. - Esta é a definição correta de um espaço topológico localmente compacto. C) Um espaço que é conexo. - Conexidade é uma propriedade diferente e não está relacionada diretamente à localmente compacto. D) Um espaço que é discreto. - Um espaço discreto não é necessariamente localmente compacto, pois cada ponto é uma vizinhança, mas não garante que essas vizinhanças sejam compactas. Portanto, a alternativa correta é: B) Um espaço onde cada ponto tem uma vizinhança que é compacta.