Para calcular a integral de \( \sin(x) \) no intervalo de 1 a 2 usando o método de Romberg até \( n = 2 \), você deve seguir os passos do método, que envolve a aplicação da regra do trapézio e a extrapolação. 1. Cálculo da integral usando a regra do trapézio: - Para \( n = 1 \): \[ T_1 = \frac{b - a}{2} \left( f(a) + f(b) \right) = \frac{2 - 1}{2} \left( \sin(1) + \sin(2) \right) \] - Para \( n = 2 \): \[ T_2 = \frac{b - a}{4} \left( f(a) + 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b) \right) = \frac{2 - 1}{4} \left( \sin(1) + 2\sin\left(\frac{1+2}{2}\right) + \sin(2) \right) \] 2. Extrapolação de Romberg: - Usando os valores de \( T_1 \) e \( T_2 \), você pode calcular \( R(1,1) \) e \( R(2,1) \) e, em seguida, \( R(2,2) \). Após realizar os cálculos, você encontrará que o valor da integral de \( \sin(x) \) no intervalo de 1 a 2, utilizando o método de Romberg até \( n = 2 \), é aproximadamente 0,95645. Portanto, a alternativa correta é 0,95645.