Integral Definida Area

É facil notar que f>g, logo a area calculada será ∫f dx - ∫g dx

∫f dx = ∫(x^3 + 1/2) dx = (x^4)/4 + x/2

∫g dx = ∫(5/2 x^5  -1) dx = (5/12)x^6 - x

Area total = (x^4)/4 + x/2 - [ (5/12)x^6 - x ]

Area total = (x^4)/4 - (5/12)x^6 +(1/2 +1) x

para x ∃ [0,1]

Area total = (1^4)/4 - (5/12)1^6 +(1/2 +1) 1 = 1/4 - 5/12 + 3/2 = 4/3

Arrecadação de aproximadamente 4/3 milhões de reais

Após 1 mês de bilheteria podemos considerar o intervalo da função em [0,1]. Observe o gráfico abaixo com as duas funções plotadas neste intervalo então:

Esta questão agora leva a algumas dúvidas. Observe que a função g(x)= 5/2x^(5)-1 possui uma parte abaixo do eixo y; a área neste caso se tornará negativa. O cálculo desta área pode ser calculado tanto de forma direta pela integração, que acabará subtraindo esta parte negativa, como pode ser feito de forma absoluta, somando a área toda. Faremos aqui a separação e trabalharemos com esta área negativa descartando o sinal, de forma a ter a área absoluta.

Observe que a função g(x)= 5/2x^(5)-1 cruza o eixo x em:

A integração então que irá gerar esta área será:

Repare que a terceira integral irá gerar um valor negativo, por isto o sinal negativo a frente da integral. Agora, resolvendo esta integral teremos:

A arecadação neste caso foi de 1,33379 milhões de reais, aproximadamente.

Nota: repare que esta é apenas uma forma de se resolver este exercício. Repare também que este exercício dá margem para considerar a área como sendo negativa, uma vez que dinheiro negativo existe (prejuízo).

Bons estudos!