Considere a função f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x. Qual é o valor de x para o qual a função atinge seu máximo no intervalo [0, 4]? a) 0 b) 2 c) 3 d) 4

Para encontrar o valor de \( x \) onde a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \) atinge seu máximo no intervalo \([0, 4]\), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada da função: \[ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \] 2. Igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos: \[ 3x^2 - 12x + 9 = 0 \] Dividindo toda a equação por 3: \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Fatorando: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] Portanto, os pontos críticos são \( x = 1 \) e \( x = 3 \). 3. Avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo: - \( f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9(0) = 0 \) - \( f(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 9(1) = 1 - 6 + 9 = 4 \) - \( f(3) = 3^3 - 6(3)^2 + 9(3) = 27 - 54 + 27 = 0 \) - \( f(4) = 4^3 - 6(4)^2 + 9(4) = 64 - 96 + 36 = 4 \) 4. Comparar os valores: - \( f(0) = 0 \) - \( f(1) = 4 \) - \( f(3) = 0 \) - \( f(4) = 4 \) Os valores máximos são \( f(1) = 4 \) e \( f(4) = 4 \). Portanto, a função atinge seu máximo em \( x = 1 \) e \( x = 4 \). Como a pergunta pede o valor de \( x \) para o qual a função atinge seu máximo no intervalo \([0, 4]\), a resposta correta é: d) 4.