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Cálculo Numérico

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Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. Para encontrar as soluções de uma equação do segundo grau, utilizamos a fórmula de Bhaskara.
Com relação ao discriminante, associe os itens, utilizando o código a seguir:
A II - I - IV - III.
B I - II - III - IV.
C III - IV - I - II.
D IV - III - II - I.
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há 9 meses

Para responder sua pergunta, precisamos entender o que é o discriminante em uma equação do segundo grau e como ele se relaciona com os itens mencionados. O discriminante é dado pela fórmula \( \Delta = b^2 - 4ac \) e nos ajuda a determinar a natureza das raízes da equação. Vamos analisar as opções: I - Discriminante positivo: duas raízes reais e distintas. II - Discriminante igual a zero: uma raiz real (ou duas iguais). III - Discriminante negativo: duas raízes complexas (não reais). IV - O valor do discriminante é calculado a partir dos coeficientes da equação. Agora, vamos correlacionar os itens: - IV: O valor do discriminante é calculado a partir dos coeficientes da equação. - I: Discriminante positivo: duas raízes reais e distintas. - II: Discriminante igual a zero: uma raiz real (ou duas iguais). - III: Discriminante negativo: duas raízes complexas (não reais). Agora, vamos verificar as alternativas: A) II - I - IV - III: Não está correta. B) I - II - III - IV: Não está correta. C) III - IV - I - II: Não está correta. D) IV - III - II - I: Esta está correta. Portanto, a alternativa correta é: D. IV - III - II - I.

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Quando efetuamos a análise de um Sistema de Equações Lineares, deparamos com situações diversas, as quais se classificam em: possível e determinado, possível e indeterminado, indeterminado, convergente ou divergente. Para verificar se um Sistema de Equações Lineares é Convergente ou Divergente, existem dois critérios. O primeiro se chama Critério de Linhas, que diz o seguinte: para cada linha k da matriz de coeficientes de um sistema, considere a soma dos elementos desta linha em seus valores absolutos com exceção do valor que pertence à diagonal principal, tendo em vista que esse valor irá dividir a soma. Realizando este processo para todas as linhas, é necessário verificar se o maior deles é menor do que a unidade. Se for, a sequência de elementos que encontraremos no processo de iteração converge para a solução do sistema. O segundo critério recebe o nome Sassenfeld, ou seja, Gauss-Seidel, que também gera uma sequência (x^k) convergente para a solução do sistema, independentemente da escolha da aproximação inicial xº. Além disso, quanto menor for o valor adotado para B, mais rápida será a convergência.
Considerando o critério de linhas, método de Jacobi e ao mesmo tempo, o método de Gauss-Seidel, critério de Sassenfeld, verifique se a solução do sistema linear dado pelas equações:
a) O sistema é convergente e divergente ao mesmo tempo.
b) O sistema não satisfaz o critério das linhas, mas, no entanto, satisfaz o critério de Sassenfeld; portanto, a convergência está garantida.
c) O sistema satisfaz o critério de linhas, convergência garantida.
d) O sistema não satisfaz o critério de linhas, convergência não garantida.

Diversos são os teoremas para provar que determinada série numérica converge ou diverge, esses costumam ser chamados de testes (ou critérios). A importância dos critérios de convergência se deve ao fato de:
a) Nos processos diretos, os sistemas podem não ter solução.
b) Nos processos iterativos, em princípio, o método pode não convergir para uma aproximação da solução do sistema.
c) Uma vez de posse do sistema, escolher qual o método mais eficiente para resolvê-lo.
d) De posse destes critérios, podemos escolher com maior propriedade os valores iniciais do processo.

Gabriel Cramer foi um matemático suíço, sendo famosa a regra para solução de sistemas de equações lineares que tem o seu nome, a regra de Cramer. A regra ou método de Cramer consiste em encontrar a solução do sistema linear A.X = B através de determinantes. Neste contexto, para o sistema a seguir, assinale a alternativa CORRETA:
a) Somente a opção I está correta.
b) Somente a opção II está correta.
c) Somente a opção III está correta.
d) Somente a opção IV está correta.

Usando o método de Gauss-Seidel, podemos resolver sistemas lineares com uma aproximação da solução. O sistema linear AX = B foi resolvido com o método de Gauss-Seidel e foi encontrada a seguinte tabela:
a) x = 3,125 e y = 3,0625.
b) x = 0,625 e y = 1,0625.
c) x = 1,875 e y = 0,9375.
d) x = 0,25 e y = 0,3125.

O Teorema Fundamental da Álgebra nos garante que qualquer polinômio com coeficientes complexos de grau maior ou igual que um, tem pelo menos uma raiz complexa. Portanto, podemos afirmar que uma equação com coeficientes complexos pode ter apenas uma raiz complexa, o que não acontece com equações com coeficientes reais, nesse caso se temos uma raiz complexa, o conjugado desse número também será uma raiz da equação.
Quais dos números a seguir são raízes da equação do terceiro grau:
A 2 - i e - 2
B 2 - i e 2 + i
C - 2 e 2
D - 2 e - 1

Em meados de 1798, Gauss, grande matemático alemão, demonstrou o Teorema Fundamental da Álgebra. Nele, demonstra-se a relação do número de soluções de uma equação com seu maior grau. Sabe-se que as equações biquadradas são aquelas que possuem ordem de grau quatro.
Logo, com relação às equações biquadradas, assinale a alternativa CORRETA:
A Elas possuirão 2 raízes reais e duas raízes complexas.
B Elas possuirão 2 pares de raízes, sendo cada par igual em módulo.
C São um caso especial de equações fracionárias.
D Elas possuirão 4 raízes reais distintas entre si.

Sabendo que a Decomposição LU é um método que além de resolver sistemas lineares também pode ser usado para calcular o determinante da matriz A. Como as matrizes L e U são matrizes triangulares e o determinante das mesmas é simples de ser calculado, conseguimos calcular o determinante de A, já que A = LU.
Considerando as matrizes A, L e U a seguir, qual é o determinante de A?

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