Determine o problema de valor inicial da equação y’= x³ (1-y), y(0)= 3

Para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial \( y' = x^3 (1 - y) \) com a condição inicial \( y(0) = 3 \), siga os passos abaixo: 1. Separação de Variáveis: Reescreva a equação para separar as variáveis \( y \) e \( x \): \[ \frac{dy}{1 - y} = x^3 \, dx \] 2. Integração: Integre ambos os lados: \[ \int \frac{dy}{1 - y} = \int x^3 \, dx \] A integral do lado esquerdo é \( -\ln|1 - y| \) e do lado direito é \( \frac{x^4}{4} + C \): \[ -\ln|1 - y| = \frac{x^4}{4} + C \] 3. Isolando \( y \): Multiplicando por -1 e exponenciando: \[ |1 - y| = e^{-\frac{x^4}{4} - C} = \frac{K}{e^{\frac{x^4}{4}}} \] onde \( K = e^{-C} \). 4. Resolvendo para \( y \): \[ 1 - y = \frac{K}{e^{\frac{x^4}{4}}} \quad \Rightarrow \quad y = 1 - \frac{K}{e^{\frac{x^4}{4}}} \] 5. Aplicando a Condição Inicial: Use \( y(0) = 3 \): \[ 3 = 1 - \frac{K}{e^{0}} \quad \Rightarrow \quad 3 = 1 - K \quad \Rightarrow \quad K = -2 \] 6. Solução Final: Substitua \( K \) na expressão para \( y \): \[ y = 1 + \frac{2}{e^{\frac{x^4}{4}}} \] Portanto, a solução do problema de valor inicial é: \[ y(x) = 1 + \frac{2}{e^{\frac{x^4}{4}}} \]