Para resolver a questão, vamos primeiro entender a forma de \( z \) dada: \[ z = 5 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 5 i \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \] Isso pode ser reescrito na forma polar como: \[ z = 5 \text{cis}\left(\frac{\pi}{4}\right) \] onde \( \text{cis}(\theta) = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \). Para encontrar \( z^7 \), usamos a fórmula de De Moivre: \[ z^n = r^n \text{cis}(n\theta) \] onde \( r \) é o módulo e \( \theta \) é o argumento. Assim, temos: \[ z^7 = 5^7 \text{cis}\left(7 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \] Calculando \( 5^7 \) e \( 7 \cdot \frac{\pi}{4} \): 1. \( 5^7 = 78125 \) 2. \( 7 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \) Portanto: \[ z^7 = 78125 \text{cis}\left(\frac{7\pi}{4}\right) \] Agora, precisamos verificar as alternativas. Nenhuma das opções apresentadas parece corresponder diretamente ao resultado que encontramos, pois elas não incluem o módulo \( 78125 \) e estão expressas de forma diferente. Entretanto, se considerarmos que a questão pode estar pedindo apenas a parte do argumento, que é \( \frac{7\pi}{4} \), e não o módulo, precisamos verificar se alguma das opções se aproxima disso. Nenhuma das alternativas apresentadas parece correta, pois todas estão em uma forma diferente e não correspondem ao resultado que encontramos. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode precisar revisar a questão ou as opções.