Determinar uma condição entre a,b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combinação linear de u e v.

t1 * (vetorU) + t2 * (vetorV) = (a, b, c)

t1 * (2,−3, 2) + t2 * (−1, 2, 4) = (a, b, c)

 2 t1  -    t2 = a

-3t1  + 2 t2 = b

 2t1  + 4 t2 = c

Agora você monta a matriz:

[  2  -1   a ]

[-3    2   b ]

[ 2    4   c ]

E tenta zerar o máximo de termos possíveis.

Se não quiser fazer por matriz, pode resolver o sistema normalmente para achar as variáveis a, b e c. (Particularmente prefiro matriz).

Espero ter ajudado, acahando as variáveis você tem a condição necessária para que o vetor (a, b, c) seja uma combinação linear de u e v.

Para que o vetor \((a,b,c)\) seja uma combinação linear de \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) devem existir \(\lambda \) e \(\beta \) reais tais que:

\((a,b,c)=\lambda\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}\), mas:

\(​​\overrightarrow{u}=(2,-3,2)\) e \(​​\overrightarrow{v}=(-1,2,4)\), logo:

\((a,b,c)=\lambda\overrightarrow{u}+\beta\overrightarrow{v}=\lambda (2,3,-2)+\beta(-11,2,4) \\(2\lambda - \beta,-3\lambda +2\beta,2\lambda +4\beta)\)

Assim, temos que:\(a=2\lambda - \beta\) (I)

\(b=-3\lambda +2\beta\) (II)

\(c=2\lambda +4\beta\) (III)

Multiplicando ambos os membros da primeira equação por \((-2)\) e somando com a segunda equação obtemos que:

\(2a+b=\lambda\) (IV)

A partir da primeira equação, podemos escrever:

\(\beta=2\lambda-a\) (V)

Substituindo (V) em (III), obtemos que:

\(c=10\lambda-4a\) (VI)

Agora substituindo ((IV) em (VI), obtemos que:

\(16a+10b-c=0\) (VII)

Portanto, os números reais \(a,b,c\) que satisfazarem a equação (VII) fornecem as coordenadas do vetor  que é  uma combinação linear de \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\).

Prefiro matriz também, acho mais prático.

Eu igualei as expressões a 0, e minha matriz ficou com a,b e c negativos e achei o resultado do gabarito, desse jeito está correto?