Para resolver essa questão, precisamos primeiro entender as características da elipse e da hipérbole mencionadas. 1. Elipse: A elipse é centrada na origem e tem focos no eixo OX. Os eixos medem 10 e \( \frac{20}{3} \). O semi-eixo maior \( a \) é \( 5 \) (metade de 10) e o semi-eixo menor \( b \) é \( \frac{10}{3} \) (metade de \( \frac{20}{3} \)). A equação da elipse é dada por: \[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{\left(\frac{10}{3}\right)^2} = 1 \] ou seja: \[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{\frac{100}{9}} = 1 \] 2. Hipérbole: Os focos da elipse são os vértices da hipérbole. Os focos da elipse estão em \( (±c, 0) \), onde \( c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - \left(\frac{10}{3}\right)^2} = \sqrt{25 - \frac{100}{9}} = \sqrt{\frac{125}{9}} = \frac{5\sqrt{5}}{3} \). Portanto, os focos da hipérbole estão em \( (±\frac{5\sqrt{5}}{3}, 0) \). 3. Parábolas: As parábolas que passam pelas interseções entre a elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo OY na origem têm a forma \( y^2 = kx \). Para determinar o valor de \( k \), precisamos encontrar as interseções e a condição de tangência. Após realizar os cálculos necessários, podemos verificar as opções dadas. Analisando as alternativas, a que se encaixa corretamente com os cálculos realizados é: d) \( y^2 = ±\frac{6\sqrt{35}}{7} x \) Portanto, a resposta correta é a alternativa d.