Apostila de Matemática_pag237

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35) (IME 2011) Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com 
lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à metade 
da área da figura ABHFG. Determine a equação da elipse 
de centro na origem e eixos formados pelos segmentos FC e 
GH. 
 
a) 48x2 + 36y2 – √2m2 = 0 
b) 8x2 + 16y2 – √3m2 = 0 
c) 16x2 + 48y2 – 3m2 = 0 
d) 8x2 + 24y2 – m2 = 0 
e) 16x2 – 24y2 – m2 = 0 
36) (IME 2011) A equação da reta tangente à curva de equação 
x2 + 4y2 – 100 = 0 no ponto P(8, 3) é: 
a) 2x + 3y – 25 = 0 
b) x + y – 11 = 0 
c) 3x – 2y – 18 = 0 
d) x + 2y – 14 = 0 
e) 3x + 2y – 30 = 0 
37) (IME 2012) Considere uma haste AB de comprimento 10 
m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da 
extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal 
sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A 
localizada na origem do plano cartesiano. A haste se 
desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no 
sentido positivo, e a extremidade B percorra o eixo x, no 
sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a 
origem do plano cartesiano. A equação do lugar 
geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao 
ocorrer o deslocamento descrito é 
a) 49x² + 9y² – 280x + 120y – 441 = 0 
b) 49x² – 406x – 49y² + 441 = 0 
c) 9x² + 49y² – 441 = 0 
d) 9x² + 9y² + 120y – 441 = 0 
e) 9x² – 49y² – 441 = 0 
38) (IME 2013) Uma elipse cujo centro encontra-se na origem 
e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos cartesianos 
possui comprimento da semi-distância focal igual a √3 e 
excentricidade igual a √3/2. Considere que os pontos A, B, C 
e D representam as interseções da elipse com as retas de 
equações y = x e y = −x. A área do quadrilátero ABCD é 
a) 8 
b) 16 
c) 16/3 
d) 16/5 
e) 16/7 
 
 
 
 
 
39) (IME 2013) Para o número complexo z que descreve o 
lugar geométrico representado pela desigualdade |z – 26i| ≤ 
10, sejam a1 e a2 os valores máximo e mínimo de seu 
argumento. O valor de |a1 − a2| é 
a) π − tan−1 (
5
12
) 
b) 2tan−1 (
5
13
) 
c) tan−1 (
5
13
) 
d) 2tan−1 (
5
12
) 
e) 2tan−1 (
12
5
) 
40) (IME 2014) O lugar geométrico no plano complexo de w = 
z + 1/z, sendo z número complexo tal que |z| = k e k > 1, é 
um(a): 
a) segmento de reta 
b) circunferência 
c) hipérbole 
d) elipse 
e) parábola 
41) (IME 2015) O lugar geométrico dos pontos em ℝ² 
equidistantes às retas de equações 
4x + 3y – 2 = 0 e 12x – 16 y + 5 = 0 
é 
a) 4x + 28 y + 13 = 0 
b) 8x – 7y – 13 = 0 
c) 28 x – 4y – 3 = 0 
d) 56x² + 388xy – 184x – 56y² – 16y + 19 = 0 
e) 112x² + 768xy – 376x – 112y² – 32y + 39 =0 
42) (IME 2017) Seja uma elipse com focos no eixo OX e 
centrada na origem. Seus eixos medem 10 e 20/3. 
Considere uma hipérbole tal que os focos da elipse são os 
vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os vértices 
da elipse. As parábolas que passam pelas interseções entre a 
elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo OY, na 
origem, têm as seguintes equações: 
a) y2 = ±2
√35
7
x 
b) y2 = ±4
√5
7
x 
c) y2 = ±6
√5
7
x 
d) y2 = ±6
√35
7
x 
e) y2 = ±8
√35
63
x 
43) (IME 2018) Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, 
com centro na origem, eixos paralelos aos eixos 
coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma 
rotação de 45º no sentido anti-horário em torno da origem. 
A equação dessa hipérbole após a rotação é: 
a) xy = 2 
b) x² + xy – y² = 4 
c) x² − y² = 2 
d) xy = −2 
e) x² − y² = −2 
44) (IME 2019) O lugar geométrico definido pela equação x² + 
3y² + 5 = 2x – xy – 4y representa 
a) uma elipse. 
b) uma hipérbole. 
c) uma circunferência. 
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