Para encontrar a variância da variável aleatória \(X\) com a função de densidade de probabilidade \(f(x) = kx^2\) para \(-1 < x < 1\), precisamos seguir alguns passos: 1. Encontrar a constante \(k\): Para que \(f(x)\) seja uma função de densidade de probabilidade, a integral de \(f(x)\) sobre todo o espaço deve ser igual a 1. \[ \int_{-1}^{1} kx^2 \, dx = 1 \] Calculando a integral: \[ \int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} \] Portanto, temos: \[ k \cdot \frac{2}{3} = 1 \implies k = \frac{3}{2} \] 2. Calcular a média \(E(X)\): \[ E(X) = \int_{-1}^{1} x \cdot f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} x \cdot \frac{3}{2} x^2 \, dx = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1} x^3 \, dx \] Como a função \(x^3\) é ímpar, a integral de \(-1\) a \(1\) é zero: \[ E(X) = 0 \] 3. Calcular \(E(X^2)\): \[ E(X^2) = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} x^2 \cdot \frac{3}{2} x^2 \, dx = \frac{3}{2} \int_{-1}^{1} x^4 \, dx \] Calculando a integral: \[ \int_{-1}^{1} x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{-1}^{1} = \frac{1^5}{5} - \frac{(-1)^5}{5} = \frac{1}{5} - \left(-\frac{1}{5}\right) = \frac{2}{5} \] Portanto: \[ E(X^2) = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{3}{5} \] 4. Calcular a variância \(\text{Var}(X)\): A variância é dada por: \[ \text{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{3}{5} - 0^2 = \frac{3}{5} \] Assim, a variância de \(X\) é igual a: Resposta correta: (E) 3/5.