como aproximar uma proporção através da distribuição normal?

m 1733 Abraham De Moivre representou um resultado extramente importante dentro da teoria da probabilidade que era a distribuição das médias extraídas de uma população tendem à uma distribuição normal, na medida em que mais réplicas desse experimento forem ocorrendo. No mesmo sentido, De Moivre verificou que a distribuição normal aproximava muito bem as probabilidades de uma variável aleatória binomial a medida em que nn aumentava.

Tal aproximação se torna bastante útil na medida em que de fato nn tende a aumentar, o que faz com seja extremamente tedioso o cálculo de fatoriais e combinações para tais casos. Dessa forma uma aproximação, ou forma simplificada de cálculo das probabilidades se faz necessário.

Imagine o caso em que se tenha n=500n=500 repetições de um experimento, em que a probabilidade de sucesso é de p=0.50p=0.50. Calcule a probabilidade do valor de 350<X<478350<X<478. Na atualidade faríamos uso de um computador para tal cálculo.

Só para se ter uma ideia, o valor de uma combinação, de 350350 sucessos em 500500 tentativas é de:

Code

[1] 1.727989e+131

Agora imagine realizar tal tarefa, calcular essa combinação, em 1733… Bem, até mesmo o cálculo do fatorial n!n! era complexo e demorado. Tanto que James Stirling desenvolveu uma equação para aproximar o fatorial, chamada de fórmula de Stirling:

n!=2πn−−−√(ne)nn!=2πn(ne)n

Diante disso, o cálculo das probabilidades de uma v.a. binomial pode ser aproximado pela distribuição normal, no mesmo sentido outras distribuições discretas que dependendo dos seus parâmetros resultarem em uma forma simétrica, podem também, serem aproximadas por essa mesma distribuição.

Para isso algumas restrições são necessárias, para a aproximação seja feita de forma acurada.

Aproximação da Distribuição Binomial pela Distribuição Normal

A aproximação da distribuição binomial pela normal é realizada calculando os parâmetros que descrevem uma variável aleatória, como valor esperado ou média E[X]E[X] e variância V(X)V(X).

Assim temos que,

Valor Esperado e Variância de uma v.a. Binomial

E[X]=μ=npV(X)=σ2=np(1−p)

Para responder essa pergunta devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Estatística.

A distribuição normal consiste no principal tipo de distribuição de probabilidade empregado para modelar fenômenos naturais. A figura abaixo apresenta tal distribuição:

Fonte: http://www.portalaction.com.br/probabilidades/62-distribuicao-normal . Acesso 10 fev. 2019.

Para tornar os dados aplicáveis na distribuição normal é preciso calcular a variável padrão :

Em que é o dado coletado, a media e o desvio padrão dos dados.

Com base em tal variável, a probabilidade de ocorrência de algum evento é possível de ser cálculada por esse método.

Para responder essa pergunta devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Estatística.

A distribuição normal consiste no principal tipo de distribuição de probabilidade empregado para modelar fenômenos naturais. A figura abaixo apresenta tal distribuição:

Fonte: http://www.portalaction.com.br/probabilidades/62-distribuicao-normal . Acesso 10 fev. 2019.

Para tornar os dados aplicáveis na distribuição normal é preciso calcular a variável padrão :

Em que é o dado coletado, a media e o desvio padrão dos dados.

Com base em tal variável, a probabilidade de ocorrência de algum evento é possível de ser cálculada por esse método.