Dada a função LT= -2q2 +220q -5250, a região em que o lucro é crescente e positivo é: 35 < q < 55 0 < q < 55 0 < q < 35 0 < q < 75 35< q < 75

Para determinar a região em que o lucro é crescente e positivo a partir da função \( LT = -2q^2 + 220q - 5250 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada da função lucro: A derivada nos dará a taxa de variação do lucro em relação à quantidade \( q \). \[ LT' = -4q + 220 \] 2. Encontrar os pontos críticos: Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos onde o lucro pode mudar de crescente para decrescente. \[ -4q + 220 = 0 \implies q = 55 \] 3. Analisar o sinal da derivada: Para saber onde o lucro é crescente, verificamos o sinal da derivada em intervalos definidos por \( q = 55 \): - Para \( q < 55 \), por exemplo, \( q = 0 \): \[ LT' = -4(0) + 220 = 220 \quad (\text{crescente}) \] - Para \( q > 55 \), por exemplo, \( q = 60 \): \[ LT' = -4(60) + 220 = -60 \quad (\text{decrescente}) \] 4. Verificar onde o lucro é positivo: Para isso, precisamos encontrar as raízes da função lucro \( LT = 0 \): \[ -2q^2 + 220q - 5250 = 0 \] Usando a fórmula de Bhaskara: \[ q = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-220 \pm \sqrt{220^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-5250)}}{2 \cdot (-2)} \] Calculando: \[ q = \frac{220 \pm \sqrt{48400 - 42000}}{-4} = \frac{220 \pm \sqrt{6400}}{-4} = \frac{220 \pm 80}{-4} \] As raízes são: \[ q_1 = \frac{300}{-4} = -75 \quad (\text{não é válido}) \quad \text{e} \quad q_2 = \frac{140}{-4} = -35 \quad (\text{não é válido}) \] Para encontrar os valores positivos, podemos verificar os valores em \( q = 0 \) e \( q = 75 \): - Para \( q = 0 \): \[ LT = -5250 \quad (\text{negativo}) \] - Para \( q = 75 \): \[ LT = -2(75^2) + 220(75) - 5250 = -11250 + 16500 - 5250 = 0 \quad (\text{zero}) \] 5. Conclusão: O lucro é crescente para \( 0 < q < 55 \) e positivo para \( 35 < q < 75 \). Portanto, a região em que o lucro é crescente e positivo é \( 35 < q < 55 \).