Construir a partir do vetor=(1,-2,1), uma base ortogonal do R^3 relativamente ao produto interno usual e obter, a partir dela, uma base ortonormal.

Tome as projeções em cada um dos eixos cartesianos; para construir uma base ortonormal basta pegar cada projeção e encontrar o vetor unitário correspondente (que é o vetor dividido por sua norma).

Para encontrarmos a base ortonormal, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & {{v}_{1}}=(1,-2,1) \\ & {{v}_{2}}=(1,0,0) \\ & {{v}_{3}}=(0,1,0) \\ & \\ & {{v}_{2}}={{v}_{2}}-\left( \frac{{{v}_{1}}{{v}_{2}}}{|{{v}_{1}}|} \right){{v}_{1}} \\ & {{v}_{2}}=(1,0,0)-\left( \frac{1}{6} \right)(1,-2,1)=\left( \frac{5}{6},\frac{1}{3},\frac{-1}{6} \right) \\ & \\ & {{v}_{3}}={{v}_{3}}-\left( \frac{{{v}_{1}}{{v}_{3}}}{|{{v}_{1}}|} \right){{v}_{1}}-{{v}_{3}}-\left( \frac{{{v}_{2}}{{v}_{3}}}{|{{v}_{2}}|} \right){{v}_{2}} \\ & {{v}_{3}}=(0,1,0)+\left( \frac{1}{3} \right)(1,-2,1)-\frac{2}{\sqrt{30}}\left( \frac{5}{6},\frac{1}{3},\frac{-1}{6} \right) \\ & {{v}_{3}}=\left( \frac{1}{3}-\frac{\sqrt{30}}{18},\frac{-2}{3}-\frac{\sqrt{30}}{15},\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{30}}{9} \right) \\ \end{align}\ \)