Exercicios de produto interno e base ortogonal

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Exerćıcios de Produto Interno, Norma, Ângulo
1. Dado o produto 〈u, v〉 = 2x1x2 − x1y2 − x2y1 + y1y2, onde u = (x1, y1)
e v = (x2, y2), é FALSO afirmar que:
a) 〈u, v〉 definido acima é um produto interno.
b) 〈u, v〉 definido acima é um produto interno e ‖u‖ =
√
x21 + (x1 − y1)2.
c) O ângulo entre os vetores u = (1, 1) e v = (2, 1) é arccos2, consi-
derando o produto do enunciado como o produto interno.
d) Dado w = (x, y) tal que w⊥(1, 1) e w⊥(2, 1), então w⊥(−1, 0).
Gabarito: c
2. Dado o produto 〈u, v〉 = 3x1x2+2y1x2+2x1y2+3y1y2, onde u = (x1, y1)
e v = (x2, y2), é FALSO afirmar que:
a) 〈u, v〉 definido acima é um produto interno.
b) 〈u, v〉 definido acima é um produto interno e ‖(2, 1)‖ =
√
23 neste
produto interno.
c) O ângulo entre os vetores u = (2, 1) e v = (−1, 2) é π
2
, conside-
rando o produto do enunciado como o produto interno.
d) O ângulo entre os vetores u = (1, 1
2
) e v = (−1, 2) é π
3
, conside-
rando o produto do enunciado como o produto interno.
Gabarito: d
3. Dado o produto 〈u, v〉 = 4x1x2 +9y1y2, onde u = (x1, y1) e v = (x2, y2),
é FALSO afirmar que:
a) 〈u, v〉 definido acima não é um produto interno.
b) 〈u, v〉 definido acima é um produto interno e ‖(3, 1)‖ = 3
√
5 neste
produto interno.
c) Dado w = (x, y) tal que w⊥(1, 0) e w⊥(1, 1), então w⊥(2, a), ∀a ∈
R.
d) O ângulo entre os vetores u = (1
2
, 0) e v = (0, 1
3
) é π
2
, considerando
o produto do enunciado como o produto interno.
Gabarito: a
1
4. Dado o produto 〈u, v〉 = 3x1x2 + 2y1x2 + 2x1y2 + 3y1y2, onde u =
(x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), é FALSO afirmar que:
a) 〈u, v〉 definido acima é um produto interno.
b) 〈u, v〉 definido acima é um produto interno e ‖u‖ =
√
x21 + 4y
2
1 + 5z
2
1 + 4x1y1
neste produto interno.
c) O ângulo entre os vetores u = (1, 0, 0) e v = (0, −1
2
, 0) é π
2
, consi-
derando o produto do enunciado como o produto interno.
d) O ângulo entre os vetores u = (1, 0, 0) e v = (0, −1
4
, 1
2
) é π
2
, consi-
derando o produto do enunciado como o produto interno.
Gabarito: b
5. Dado o produto 〈u, v〉 = x1x2 − y1x2 − x1y2 + 2y1y2, onde u = (x1, y1)
e v = (x2, y2), é FALSO afirmar que:
a) 〈u, v〉 definido acima é um produto interno.
b) 〈u, v〉 definido acima é um produto interno e ‖(0, 2)‖ = 2
√
2 neste
produto interno.
c) O ângulo entre os vetores u = (1, 1) e v = (−1, 0) é π
2
, conside-
rando o produto do enunciado como o produto interno.
d) 〈u, v〉 definido acima é um produto interno e ‖(7, 3)‖ = 4 neste
produto interno.
Gabarito: d
2