Para que uma base seja ortogonal, todos os pares de vetores da base tem que ser ortogonais entre si:

\(\left\{\begin{align} (1,-3,2)\cdot(2,2,2)&=0\\ (1,-3,2)\cdot(a,b,c)&=0\\ (a,b,c)\cdot(2,2,2)&=0\\ \end{align}\right.\)

Usando o produto escalar usual, temos:

\(\left\{\begin{align} 2-6+4&=0\ \checkmark\\ a-3b+2c&=0\\ 2a+2b+2c&=0\\ \end{align}\right.\)

Simplificando o sistema, temos:

\(\left\{\begin{align} a-3b+2c&=0\\ a+b+c&=0\\ \end{align}\right.\)

Subtraindo a primeira equação da segunda, temos:

\(\left\{\begin{align} a-3b+2c&=0\\ 4b-c&=0\Rightarrow c=4b\\ \end{align}\right.\)

Substituindo na primeira equação, temos:

\(a-3b+2\cdot4b=0\Rightarrow a=-5b\)

Substituindo na expressão da base, temos:

\(\boxed{\{(1,-3,2),(2,2,2),(-5b,b,4b)\}\ \forall b\in\mathbb{R}}\)

Para que a base seja ortonormal, o produto escalar de cada elemento por le mesmo deve ser unitário:

\((1x,-3x,2x)\cdot(1x,-3x,2x)=x^2+9x^2+4x^2=14x^2=1\Rightarrow x={1\over\sqrt{14}}\)

Para o segundo vetor da base, temos:

\((2y,2y,2y)\cdot(2y,2y,2y)=4y^2+4y^2+4y^2=12y^2=1\Rightarrow y={1\over2\sqrt{3}}\)

E para o último:

\((-5b,b,4b)\cdot(-5b,b,4b)=25b^2+b^2+16b^2=42b^2=1\Rightarrow b={1\over\sqrt{42}}\)

Substituindo, temos a seguinte base ortonormalizada:

\(\boxed{\left\{{1\over\sqrt{14}}(1,-3,2),{1\over\sqrt{3}}(1,1,1),{1\over\sqrt{42}}(-5b,b,4b)\right\}}\)