Para determinar a série de Taylor da função \( f(x) = e^x \) centrada em \( x = 0 \) até o termo de ordem 3, seguimos os seguintes passos: 1. Derivadas da função: - \( f(x) = e^x \) - \( f'(x) = e^x \) - \( f''(x) = e^x \) - \( f'''(x) = e^x \) 2. Avaliar as derivadas em \( x = 0 \): - \( f(0) = e^0 = 1 \) - \( f'(0) = e^0 = 1 \) - \( f''(0) = e^0 = 1 \) - \( f'''(0) = e^0 = 1 \) 3. Usar a fórmula da série de Taylor: A série de Taylor é dada por: \[ f(x) = f(0) + f'(0) \frac{x}{1!} + f''(0) \frac{x^2}{2!} + f'''(0) \frac{x^3}{3!} + \ldots \] 4. Substituir os valores: \[ f(x) = 1 + 1 \cdot \frac{x}{1} + 1 \cdot \frac{x^2}{2} + 1 \cdot \frac{x^3}{6} \] 5. Simplificar: \[ f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \] Portanto, a série de Taylor da função \( f(x) = e^x \) centrada em \( x = 0 \) até o termo de ordem 3 é: \[ f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} \]