Seja S a superfície definida por z = 2 + (raiz quadrada de x^2 +y^2)

z=k=2+(x²+y²)^1/2----> x²+y²=(k-2)²

i) k<2-----> k-2<0. Elevando ambos os membros ao quadrado, temos (k-2)² <0, mas, (k-2)² é sempre >0 para

todo e qualquer k real. Logo, para k<2 não há intersecção de S com o plano z=k.

ii) k=2 ----> k-2=0-------> x²+y²=0 <------> (x,y)=(0,0). Ponto.

iii) k>2----> (k-2)>0-----> (k-2)²>0 ------>x²+y²=R²,  onde R²=(k-2)²>0 . São circunferências com raio R=k-2.

É isso!!!!

\(\[\begin{align} & \text{z=k=2+(x }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ +y }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ }{{\text{)}}^{\frac{1}{2}}} \\ & \text{z=k=2+(x }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ +y }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ }{{\text{)}}^{\text{1}}}\text{/2x }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ +y }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ =(k-2) }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ } \\ & \text{k2-----k-20} \\ & \text{Logo:} \\ & \text{(k-2) }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ 0} \\ & \text{(k-2) }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ k=2}\to \text{k-2=0}\to \text{x }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ +y }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ =0} \\ & \text{(x}\text{,y)=(0}\text{,0)}\text{.k2}\to \text{(k-2)0-----} \\ & \text{(k-2) }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ 0}\to \text{x }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ +y }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ =R }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ }\text{,R }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ =(k-2) }\!\!{}^\text{2}\!\!\text{ 0}\text{.} \\ & \text{R=k-2} \\ \end{align}\] \)

Portanto:

R=k-2