Questão resolvida - Determine a área limitada pelas funções yx, x0 e x1, - Área de Superfície - Cálculo II

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Determine a área limitada pelas retas , , e , projetada na supefície y = x x = 0 x = 1 y = 0
z = x + y.
 
Resolução:
 
A curva no plano é definida pela reta simétrica e pelas retas constantes e xy y = x x = 0
, dessa forma, o gráfico dessa região é;x = 1
 
Perceba que ao substituir valores nas coordenadas na superfície, encontramos x, y e z
sempre retas;
 
Para o eixo ;z
z = 0 0 = x + y x = -y→ →
 
z = 1 1 = x + y x = -y + 1→ →
 
z = -1 0 = x + y x = -y - 1→ →
 
 
Para o eixo ;x
x = 0 z = 0 + y z = y→ →
 
x = 1 z = 1 + y z = y + 1→ →
 
x = -1 z = -1 + y z = y - 1→ →
 
Para o eixo ;y
y = 0 z = 0 + y z = y→ →
 
y = 1 z = y + 1→
 
y = -1 z = x - 1→
 
Peceba, também, que para cortes paralelos ao eixo temos sempre retas descrescentes, e xy
nos planos e são sempre retas crescentes, o que torna a superfície inclinada. Com zy zx
essas informações, e as informações a respeito da região que queremos projetar na 
superfície para encontrar a área, podemos traçar o seguinte gráfico;
 
 
A área desse projeção é dado pela expressão:
 
A = dA∫
D
∫ + + 1𝜕f
𝜕x
2
𝜕f
𝜕z
2
Devemos, então, encontrar as derivadas parciais de em relação a e a f x z
 
= 1
𝜕f
𝜕x
 
= 1
𝜕f
𝜕z
 
Substituíndo e em , temos que;2 3 1
 
A = dA A = dA∫
D
∫ 1 + 1 + 1( )2 ( )2 → ∫
D
∫ 1 + 1 + 1
 
A = dA∫
D
∫ 3
 
Agora, devemos definir os limites de integração. Veja na figura 1 que o limite de integração 
vai de a em, já em , os limite de integração vai de a reta ; substituindo em 4, 0 1 y 0 y = x
temos a seguinte expressão;
 
A = dydx
1
0
∫
x
0
∫ 3
Resolvendo;
A = dydx A = dx A = x - 0 dx A = xdx
1
0
∫
x
0
∫ 3 →
1
0
∫ 3 x
0
→
1
0
∫ 3 ( ) →
1
0
∫ 3
A = u. a.
2
3
 
 
A = A = - A = - 03
x
2
2 1
0
→ 3
1
2
( )2 0
2
( )2
→ 3
1
2
0
(1)
(2)
(3)
(4)
(Resposta)