Sejam A, P E(pertencem) Mn(R). MOSTRE QUE:

A mutiplicação de uma matriz por sua transposta resulta em uma matriz simétrica (Pij = Pji).

E como temos: P^t x A x P. E a multiplicação das matrizes é associativa. Então:

(P^t x P) x A = Uma multiplicação entre duas matrizes simétricas;

E na multiplicação de matrizes simétricas, obtemos uma terceira matriz, também simétrica.

Outra resposta:

Para  P^(t)AP ser simétrica temos:  P^(t)AP= (P^(t)AP)^t, além de A=A^t;

Se desenvolvelmos (P^(t)AP)^t, utilizando a propriedade (XY)^t = Y^t * X^t (¹)

(AP)^t*((P^t)^t)

Outra propriedade utilizada é: (X^t)^t=X

Então teremos (AP)^t*P

Desenvolvendo mais uma vez usando a propriedade (¹)

P^t*A^t*P Sabendo que A=A^t de acordo com o enunciado

P^t*AP

Logo, está provado que P^t*AP é simetrica.

Muito boa explição, obrigada :D