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Sejam A, P E(pertencem) Mn(R). MOSTRE QUE:

Se A é simétrica, então, P^(T)AP é simétrica.


6 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Uma matriz é dita simétrica se .


Utilizando as propriedades da transposta temos:

Portanto, se é simétrica temos e , comprovando a siemtria.

Uma matriz é dita simétrica se .


Utilizando as propriedades da transposta temos:

Portanto, se é simétrica temos e , comprovando a siemtria.

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Felipe

Há mais de um mês

X^TX=X^'X= \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{Red}c} \\ {\color{OliveGreen}b} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\color{Red}a} & {\color{OliveGreen}b} \\ {\color{Red}c} & {\color{OliveGreen}d} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{Red}a}^2+{\color{Red}c}^2 & {\color{Red}a}{\color{OliveGreen}b}+{\color{Red}c}{\color{OliveGreen}d} \\ {\color{Red}a}{\color{OliveGreen}b}+{\color{Red}c}{\color{OliveGreen}d} & {\color{OliveGreen}b}^2+{\color{OliveGreen}d}^2 \end{bmatrix}
A mutiplicação de uma matriz por sua transposta resulta em uma matriz simétrica (Pij = Pji).
E como temos: P^t x A x P. E a multiplicação das matrizes é associativa. Então:
(P^t x P) x A = Uma multiplicação entre duas matrizes simétricas;
E na multiplicação de matrizes simétricas, obtemos uma terceira matriz, também simétrica.
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Elivan

Há mais de um mês

Outra resposta:

Para  P^(t)AP ser simétrica temos:  P^(t)AP= (P^(t)AP)^t, além de A=A^t;

Se desenvolvelmos (P^(t)AP)^t, utilizando a propriedade (XY)^t = Y^t * X^t (¹)

(AP)^t*((P^t)^t)

Outra propriedade utilizada é: (X^t)^t=X

Então teremos (AP)^t*P

Desenvolvendo mais uma vez usando a propriedade (¹)

P^t*A^t*P Sabendo que A=A^t de acordo com o enunciado

P^t*AP

Logo, está provado que P^t*AP é simetrica.

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Andre

Há mais de um mês

Uma matriz é dita simétrica se .


Utilizando as propriedades da transposta temos:

Portanto, se é simétrica temos e , comprovando a siemtria.

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas