prove que os pontos A(a, b+c), B(b, a+c) e C(c,a+b) sao colineares e determine a equação da reta que os contem.

Neste exercício, serão analisados os seguintes pontos do plano xy:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} A=(a,b+c) \\ B=(b,a+c) \\ C=(c,a+b)\end{matrix} \right.\)

I)

Primeiro, será comprovado que os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) pertencem à mesma reta. Primeiro, será considerada \(AB\) como a distância entre os pontos \(A\) e \(B\); e \(AC\) será considerada a distância entre os pontos \(A\) e \(C\).

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} AB=A-B \\ AC = A-C \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} AB=(a;b+c) - (b;a+c) \\ AC = (a;b+c) - (c;a+b) \end{matrix} \right.\)     \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} AB=(a-b;b-a) \\ AC = (a-c;c-a) \end{matrix} \right.\)

As distâncias anteriores estão no formato \(AB=(x_{AB};y_{AB})\) e \(AC=(x_{AC};y_{AC})\). Uma vez que essas distâncias estão contidas na mesma reta, elas devem ser diretamente proporcionais. Por isso, \(AB\) e \(AC\) satisfazem a seguinte relação:

\(\Longrightarrow {y_{AC} \over y_{AB}}={x_{AC} \over x_{AB}}\)

Substituindo os termos conhecidos, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow {c-a \over b-a}={a-c \over a-b}\)

\(\Longrightarrow {c-a \over b-a}={(-1)(a-c) \over (-1)(a-b)}\)

\(\Longrightarrow {c-a \over b-a}={c-a \over b-a} \space \space \mbox{ (Verdadeiro)}\)

Portanto, os pontos \(A\), \(B\) e \(C\) de fato são colineares.

II)

Agora, será determinada a equação da reta que contém os pontos \(A\), \(B\) e \(C\). A equação geral de qualquer reta é:

\(\Longrightarrow y=a_r x+ b_r\)

Sendo \(a_r\) o coeficiente angular e \(b_r\) o coeficiente linear da reta.

Substituindo os pontos \(A=(a,b+c)\) e \(B=(b,a+c)\) na equação da reta, tem-se as seguintes equações:

\(\Longrightarrow y=a_r+b_r \to \left \{ \begin{matrix} b+c = a_r a+b_r \space \space (I) \\ a+c = a_r b+b_r \space \space (II)\end{matrix} \right.\)

Subtraindo a equação \((II)\) da equação \((I)\), o valor de \(a_r\) é:

\(\Longrightarrow b+c -(a+c) = a_r (a-b) + b_r - b_r\)

\(\Longrightarrow b-a = a_r (a-b)\)

\(\Longrightarrow a_r ={ b-a \over a-b}\)

\(\Longrightarrow a_r =-1\)    \((III)\)

Substituindo a equação \((III)\) na equação \((I)\), o valor de \(b_r\) é:

\(\Longrightarrow b+c = a_r a+b_r \space \space (I)\)

\(\Longrightarrow b+c = (-1) a+b_r\)

\(\Longrightarrow b_r = a+b+c\)    \((IV)\)

Finalmente, substituindo as equações \((III)\) e \((IV)\) na equação geral da reta, a equação completa fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow y=a_r x+ b_r\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ y=- x+ a+b+c $}\)

Para verificar se os vetores são colineares apenas represente os pontos dois a dois como vetores e identifique que um vetor é multiplo dos outros dois simultaneamente para qualquer um dos vetores.