Sejam P1 = (1, 0, 1), P2 = (0, 1, 1), P3 = (1, 2, 1), e P = (−1, 4, 1) a) Demonstre que esses quatro pontos são coplanares, mas não colineares. b...

a) Para demonstrar que os pontos são coplanares, podemos calcular o produto misto dos vetores formados pelos pontos P1, P2 e P3. Se o produto misto for igual a zero, os pontos são coplanares. Podemos calcular o produto misto da seguinte forma: (P2 - P1) x (P3 - P1) . (P - P1) = 0 Onde x representa o produto vetorial e . representa o produto escalar. Substituindo os valores, temos: (0 - 1, 1 - 0, 1 - 1) x (1 - 1, 2 - 0, 1 - 1) . (-1 - 1, 4 - 0, 1 - 1) = 0 (-1, 1, 0) x (0, 2, 0) . (-2, 4, 0) = 0 (0, 0, -2) . (-2, 4, 0) = 0 0 + 0 + 0 = 0 Portanto, os pontos são coplanares. Para demonstrar que os pontos não são colineares, podemos calcular o vetor formado pelos pontos P1 e P2, e o vetor formado pelos pontos P1 e P3. Se o vetor formado pelos pontos P1 e P2 for linearmente independente do vetor formado pelos pontos P1 e P3, os pontos não são colineares. Podemos calcular os vetores da seguinte forma: P2 - P1 = (0 - 1, 1 - 0, 1 - 1) = (-1, 1, 0) P3 - P1 = (1 - 1, 2 - 0, 1 - 1) = (0, 2, 0) Os vetores são linearmente independentes, pois não são múltiplos um do outro. Portanto, os pontos não são colineares. b) Podemos escrever o vetor P1P como uma combinação linear dos vetores P1P2 e P1P3 da seguinte forma: P1P = x(P1P2) + y(P1P3) Onde x e y são escalares que precisamos encontrar. Podemos escrever os vetores P1P2 e P1P3 da seguinte forma: P1P2 = (0 - 1, 1 - 0, 1 - 1) = (-1, 1, 0) P1P3 = (1 - 1, 2 - 0, 1 - 1) = (0, 2, 0) Substituindo na equação anterior, temos: (-1, 4, 1) - (1, 0, 1) = x(-1, 1, 0) + y(0, 2, 0) (-2, 4, 0) = (-x, x, 0) + (0, 2y, 0) Simplificando, temos: -x = -2 x + 2y = -4 Resolvendo o sistema, encontramos: x = 2 y = -3/2 Portanto, o vetor P1P pode ser escrito como: P1P = 2(P1P2) - 3/2(P1P3) Resposta: letra d) As afirmações I e II são verdadeiras.