Para determinar o valor de \( k \) que faz com que os vetores \( \vec{u} = (2, -2, 0) \), \( \vec{v} = (k, 0, 2) \) e \( \vec{w} = (2, 2, -1) \) sejam coplanares, podemos usar o determinante da matriz formada por esses vetores. Os vetores são coplanares se o determinante da matriz formada por eles for igual a zero. A matriz é: \[ \begin{bmatrix} 2 & -2 & 0 \\ k & 0 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix} \] Calculando o determinante: \[ D = 2 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - (-2) \begin{vmatrix} k & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} k & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes 2x2: 1. \( \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (0 \cdot -1) - (2 \cdot 2) = -4 \) 2. \( \begin{vmatrix} k & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (k \cdot -1) - (2 \cdot 2) = -k - 4 \) Substituindo na expressão do determinante: \[ D = 2(-4) + 2(-k - 4) = -8 - 2k - 8 = -2k - 16 \] Para que os vetores sejam coplanares, devemos ter \( D = 0 \): \[ -2k - 16 = 0 \] Resolvendo para \( k \): \[ -2k = 16 \\ k = -8 \] Portanto, o valor de \( k \) que faz com que os vetores sejam coplanares é \( k = -8 \).