Primeira prova Álgebra Linear 2017.1 Simone Moraes Resolvida

Prévia do material em texto

Universidade Federal da Bahia - Instituto de Matema´tica - DMAT
MAT A07 - A´lgebra Linear A Professora: Simone Moraes Turma: 06
1a PROVA - RESOLVIDA
1.a Questa˜o. Uma mensagem contendo ate´ m caracteres (letras e espac¸o) pode ser associada a uma
matriz de treˆs linhasM fazendo uma correspondeˆncia entre cada caracter da mensagem e cada elemento
da matriz atrave´s da tabela abaixo:
- A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Por exemplo, atrave´s da mensagem FA´CIL DEMAIS formamos a matriz
 F A C IL − D E
M A I S
 que tem
matriz mensagem associada M =
 6 1 3 912 0 4 5
13 1 9 19
 .
Para transmitir uma mensagem de forma segura vamos utilizar amatriz chave C =
 1 −3 1−1 3 −2
−1 2 1

e codificamos a mensagem fazendo o produto C ·M , que e´ poss´ıvel pois M , a matriz da mensagem, tem
treˆs linhas.
O receptor recebera´ a matriz M1 = C ·M e tem a tabela de correspondeˆncia entre caracteres (letras e
espac¸o) e nu´meros e a matriz C−1, inverssa de C, assim pode decodificar a mensagem.
(a) Encontre C−1, a inversa de C (so´ sera˜o considerados os me´todos abordados nas aulas).
(b) Se voceˆ e´ o receptor e recebeu a matriz M1 = C ·M =
 32 −4 −5 −54−52 1 −4 54
7 7 18 36
 determine a
mensagem original enviada.
Soluc¸a˜o:
(a)
detC =
∣∣∣∣∣∣∣
1 −3 1
−1 3 −2
−1 2 1
∣∣∣∣∣∣∣ 1
a linha
=
∣∣∣∣∣ 3 −22 1
∣∣∣∣∣− (−3)
∣∣∣∣∣ −1 −2−1 1
∣∣∣∣∣+ 1
∣∣∣∣∣ −1 3−1 2
∣∣∣∣∣
= 3 + 4 + 3× (−1− 2) +−2 + 3 = 7− 9 + 1 = −1.
Como detC 6= 0, enta˜o C e´ invert´ıvel.
1
Determinando C−1 por operac¸o˜es elementares sobre as linhas de A:
1 −3 1 | 1 0 0
−1 3 −2 | 0 1 0 L2 −→ L2 + L1
−1 2 1 | 0 0 1 L3 −→ L3 + L1
∼
1 −3 1 | 1 0 0
0 0 −1 | 1 1 0 L2 ←→ L3
0 −1 2 | 1 0 1
∼
1 −3 1 | 1 0 0 L1 −→ L1 + L3
0 −1 2 | 1 0 1 L2 −→ L2 + 2L3
0 0 −1 | 1 1 0
∼
1 −3 0 | 2 1 0
0 −1 0 | 3 2 1 L2 −→ −L2
0 0 −1 | 1 1 0 L3 −→ −L3
∼
1 −3 0 | 2 1 0 L1 −→ L1 + 3L2
0 1 0 | −3 −2 −1
0 0 1 | −1 −1 0
∼
1 0 0 | −7 −5 −3
0 1 0 | −3 −2 −1
0 0 1 | −1 −1 0
Portanto, C−1 =
 −7 −5 −3−3 −2 −1
−1 −1 0
 .
(b) Como M1 = C ·M , enta˜o M = C−1 ·M1, ou seja,
M =
 −7 −5 −3−3 −2 −1
−1 −1 0
 ·
 32 −4 −5 −54−52 1 −4 54
7 7 18 36
 =
 15 2 1 01 3 5 18
20 3 1 0
 .
Consequentemente a mensagemoriginbal enviada e´ : OBA ACERTCI .
2.a Questa˜o. Considere a matriz A =

1 3 0 −1
0 1 −2 −1
−2 −6 3 2
3 5 8 −3
, determine:
(a) Uma matriz B triangular superior equivalente a` matriz A.
(b) O determinante da matriz A.
Soluc¸a˜o:
(a) Basta efetuar operac¸o˜es elementares sobre as linhas (ou colunas) de A:
1 3 0 −1
0 1 −2 −1
−2 −6 3 2
3 5 8 −3
 L3 −→ L3 + 2L1
L4 −→ L4 − 3L1
∼

1 3 0 −1
0 1 −2 −1
0 0 3 0
0 −4 8 0

L4 −→ L4 + 4L2
∼

1 3 0 −1
0 1 −2 −1
0 0 3 0
0 0 0 −4
 .
2
Portanto, B =

1 3 0 −1
0 1 −2 −1
0 0 3 0
0 0 0 −4
 e´ uma matriz triangular superior equivalente a` matriz A.
(b) Observemos que detB = 1 × 1 × 3 × (−4) = −12, pois B e´ uma matriz triangular. Como a
matriz B foi obtida de A efetuando operac¸o˜es elementares do tipo Li −→ Li+kLj e esta operac¸a˜o
elementar na˜o altera o determinante, enta˜o detA = detB = −12.
3.a Questa˜o. Determine todos os valores reais de a e de b para que o sistema de equac¸o˜es lineares:
x + 2y + z = 0
x + 3y + bz = 3
3x + 4y + 7z = a
(a) Tenha infinitas soluc¸o˜es.
(b) Na˜o tenha soluc¸a˜o.
Soluc¸a˜o:
Para resolver a questa˜o consideremos sua matriz ampliada do sistema linear:
AM =
 1 2 2 | 01 3 b | 3
3 4 7 | a
 .
Escalonando AM obtemos: 1 2 2 | 01 3 b | 3
3 4 7 | a
 L2 −→ L2 − L1
L3 −→ L3 − 3L1
∼
 1 2 2 | 00 1 b− 1 | 3
0 −2 4 | a

L3 −→ L3 + 2L2
∼
 1 2 2 | 00 1 b− 1 | 3
0 0 2b+ 2 | 6 + a
 .
Assim:
(a) O sistema linear tem infinitas soluc¸o˜es se, e somente se,
2b+ 2 = 0 e 6 + a = 0⇐⇒
{
b = −1
a = −6 ,
pois neste caso a u´ltima equac¸a˜o do sistema sera´ 0 = 0 e o sistema sera´ equivalente ao sistema
linear
{
x + 2y + z = 0
y − 2z = 3 que tem infinitas soluc¸o˜es.
3
(b) O sistema linear na˜o tem soluc¸a˜o se, e somente se,
2b+ 2 = 0 e 6 + a 6= 0⇐⇒
{
b = −1
a 6= −6 ,
pois neste caso a u´ltima equac¸a˜o do sistema sera´ 0 = 6 + a 6= 0 uma contradic¸a˜o!
4.a Questa˜o. Nos casos abaixo, decida se a afirmac¸a˜o dada e´ (sempre) verdadeira ou (a`s vezes) falsa.
Se for verdadeira prove e se for falsa prove o contra´rio ou apresente um contra-exemplo.
(a) Se A e B sa˜o matrizes quadradas de ordem n sime´tricas, enta˜o A+B e´ uma matriz sime´trica.
(b) Se A e´ uma matriz quadrada de ordem n, enta˜o det(−A) = − detA.
(c) Se A e´ uma matriz quadrada de ordem 4 com detA = −1
2
, enta˜o det
(
− 2A2AT · A−1
)
= −4.
(d) Toda matriz diagonal e´ invert´ıvel.
Soluc¸a˜o:
(a) (V) Sejam A e B matrizes sime´tricas em Mn(IR), enta˜o A
T = A e BT = B.
Logo,
(A+B)T = AT +BT = A+B.
Portanto, A+B tambe´m e´ sime´trica.
(b) (F) Se A e´ uma matriz quadrada invert´ıvel de ordem n, com n nu´mero par, enta˜o:
det(−A) = (−1)n detA = detA
detA 6=0
6= − detA.
(c) (F) Pois,
det
(
− 2A2AT · A−1
) ∗
= (−2)4 · det(A2) · detAT · detA−1
∗∗
= 16 · ( detA)2 · detA · 1
detA
= 16 · ( detA)2
= 16 ·
(
−1
2
)2
=
16
4
= 4 6= −4.
∗ det(kA) = kn detA e det(A ·B) = detA · detB.
∗∗ (detA)k = detAk, detAT = detA e detA−1 = 1
detA
.
(d) (F) Se A e´ uma matriz diagonal que tem um zero na diagonal principal, enta˜o detA = 0, pois e´
o determinante e´ o produto dos elementos da digonal principal, neste caso A e´ diagonal e na˜o e´
invert´ıvel.
4