derivadas

O custo é definido pelo produto da área da base (não se pode esquecer que a caixa também possuirá tampa) pelo valor do metro quadrado  de material a ser empregado na base (2l². 120,00) somado ao produto da área lateral pelo custo do material de confecção (4lh. 90,00).

C= 240l² + 360lh

Necessita-se de uma expressão com uma única variável independente. Lembramos então que uma o volume pode ser relacionado para a obtenção de tal:

V = l²h

200 = l²h

h= 200/l²

Substituindo na expressão de custo tem-se

C(l)= 240l² + 72000/l

C'(l)= 480l - 72000/l²

Igualando a zero para obter o extremo relativo (mínimo) C'(l)=0 encontra-se que l ≅ 5,313 m

Substituindo o valor de l encontrado na expressão da altura já descrita logo acima,

h= 200/l²

Obtem-se que h ≅ 7,085 m

Desse modo, afirma-se que as dimensões da caixa para que os custos sejam mínimos refere-se a uma aresta de tampa e base quadrada igual a 5,113m e altura aproximada de 7,085m.

Se a resposta foi útil, aprove a resposta e meus materiais :D

Bom dia, Thalys

Muito bem lembrando!! e explicado!!!

Dados:

a = altura 
b = aresta base 

Volume 
2500 = a*b^2 
a = 2500/b^2 

Área total 
At = 4*b*a + b^2 

Aplicando valores para achar o preço total: 

P = (4*b*a)*980 + (b^2)*1200 

Substituindo "a" na seugnda equação, temos: 

P = (4*2500*980)/b + 1200*b^2 

Derivando e igualando a 0, temos:

-(4*2500*980)/b^2 + 1200*2*b = 0 

b = 15,98 

a = 2500/b^2 
a = 9,79 

Portanto,

Aresta da base = 9,79 m ; altura = 15,98 m