Para resolver a questão, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função \( f(x,y) = (4e^{2x} - 1)(y + 3) \). 1. Derivada parcial em relação a \( y \) (\( \frac{\partial f}{\partial y} \)): - A derivada parcial em relação a \( y \) considera \( x \) como constante. - \( f(x,y) = (4e^{2x} - 1)(y + 3) \) - Derivando em relação a \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 4e^{2x} - 1 \] 2. Derivada parcial em relação a \( x \) (\( \frac{\partial f}{\partial x} \)): - A derivada parcial em relação a \( x \) considera \( y \) como constante. - Usando a regra do produto: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = (y + 3) \cdot \frac{d}{dx}(4e^{2x} - 1) + (4e^{2x} - 1) \cdot \frac{d}{dx}(y + 3) \] - A derivada de \( 4e^{2x} - 1 \) em relação a \( x \) é \( 8e^{2x} \). - Portanto: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = (y + 3)(8e^{2x}) + 0 = 8e^{2x}(y + 3) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( \frac{\partial f}{\partial y} = 8ye^{2x} + 24e^{2x} \) e \( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4e^{2x} - 1 \) b) \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4ye^{2x} + 24e^{2x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = 4e^{2x} \) c) \( \frac{\partial f}{\partial y} = 8ye^{2x} + 24e^{2x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4e^{2x} - 1 \) d) \( \frac{\partial f}{\partial x} = 8ye^{2x} + 24e^{2x} \) e \( \frac{\partial f}{\partial y} = 4e^{2x} - 1 \) A partir dos cálculos, temos: - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 4e^{2x} - 1 \) (não corresponde a nenhuma alternativa) - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 8e^{2x}(y + 3) \) (também não corresponde a nenhuma alternativa) Parece que as alternativas não estão corretas em relação às derivadas que calculamos. Portanto, você precisa criar uma nova pergunta.