M(x,y)dx+(4y+9x²)dy=0
Uma equação diferencial ordinária é dita exata se quando colocada da seguinte forma
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
e
dM/dy = dN/dx
Observe que a nossa funçao N(x,y) da equação dada é (4y+9x²), ou seja,
N(x,y) = (4y+9x²)
dN/dx = 18x => dM/dy = 18x
dM = 18xdy => M(x,y) = 18xy + g(x)
Observe que essa função g(x) que aparece é uma constante se derivada em relação a y.
Para resolver essa Equação diferencial realizaremos os cálculos abaixo:
\(\begin{align}&&\frac{{dM}}{{dy}} &= 6x\\&&\frac{{Nx - My}}{M} &= \frac{{12x}}{{6xy}}\\&&\frac{{Nx - My}}{M} &= \frac{2}{y}\end{align}\)
Com o resultado acima realizaremos os procedimentros abaixo:
\(\begin{align}&&N \cdot u &= 4{y^3} + 9{x^2}{y^2}\\&&\frac{{d\left( {Nu} \right)}}{{dx}} &= 18x{y^2}\\&&\frac{{d\left( {Nu} \right)}}{{dy}} &= 18x{y^2}\end{align}\)
Derivando ambos os lados temos que:
\(\begin{align}&&\frac{{dM}}{{dy}} = 6x\\&&\frac{{dN}}{{dx}} = 18\end{align}\)
Portanto, o resultado da equação diferencial será \(\boxed{\frac{{dM}}{{dy}} = 6x{\text{ }}{\text{,}}\frac{{dN}}{{dx}} = 18}\).
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