limite x--> 0 (raiz(1-2x-x^2)-(x+1)/x

Ao substituir o zero nesse limite, vemos que ele é da forma zero sobre zero.

(raiz(1-2*0-0^2)-(0+1))/0 = (raiz(1)-1)/0 = 0/0

Assim, podemos aplicar a regra de l'hospital, onde temos:

seja f(x) = raiz(1-2x-x^2) - x-1 e g(x) = x

f'(x) = (-2-2x)/(2raiz(1 - 2x-x^2)) - 1 e g'(x) = 1

lim x -> 0  ((-1-x)/raiz(1-2x-x^2) - 1)/1 = -1/1 - 1 = -2

Também podemos fazer da seguinte forma:

Multiplicador o numerador e denominador por 

 raiz(1-2x-x^2) + x + 1 

Temos

lim x -> 0 (1-2x-x^2 -x^2 - 2x - 1)/x(raiz(1-2x-x^2) + x + 1 ) 

lim x -> 0 (-4x - 2x^2)/x(raiz(1-2x-x^2) + x + 1 )

Didindo emcima e embaixo por x

lim x -> 0 (-4 - 2x)/(raiz(1-2x-x^2) + x + 1 )

(-4 -2*0)/(raiz(1-2*0-0^2) + 0 + 1 )

-4/2 = -2

Ao substituir o zero nesse limite, vemos que ele é da forma zero sobre zero.

(raiz(1-2*0-0^2)-(0+1))/0 = (raiz(1)-1)/0 = 0/0

Assim, podemos aplicar a regra de l'hospital, onde temos:

seja f(x) = raiz(1-2x-x^2) - x-1 e g(x) = x

f'(x) = (-2-2x)/(2raiz(1 - 2x-x^2)) - 1 e g'(x) = 1

lim x -> 0  ((-1-x)/raiz(1-2x-x^2) - 1)/1 = -1/1 - 1 = -2

Também podemos fazer da seguinte forma:

Multiplicador o numerador e denominador por 

 raiz(1-2x-x^2) + x + 1 

Temos

lim x -> 0 (1-2x-x^2 -x^2 - 2x - 1)/x(raiz(1-2x-x^2) + x + 1 ) 

lim x -> 0 (-4x - 2x^2)/x(raiz(1-2x-x^2) + x + 1 )

Didindo emcima e embaixo por x

lim x -> 0 (-4 - 2x)/(raiz(1-2x-x^2) + x + 1 )

(-4 -2*0)/(raiz(1-2*0-0^2) + 0 + 1 )

-4/2 = -2

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 0} { \sqrt{1-2x-x^2} - (x+1) \over x}\)

Através de algumas manipulações matemáticas, o limite fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 0} { \sqrt{1-2x-x^2} - (x+1) \over x} {\sqrt{1-2x-x^2} + (x+1) \over \sqrt{1-2x-x^2} + (x+1)}\)

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 0} { (\sqrt{1-2x-x^2})^2 - (x+1)^2 \over x \big [\sqrt{1-2x-x^2} + (x+1) \big ]} \)

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 0} { {1-2x-x^2} - (x^2+2x+1) \over x \big [ \sqrt{1-2x-x^2} + (x+1) \big ]} \)

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 0} { -2x^2-4x \over x \big [ \sqrt{1-2x-x^2} + (x+1) \big ] } \)

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 0} {(-2x)( x+2) \over x \big [ \sqrt{1-2x-x^2} + (x+1) \big ]} \)

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 0} {(-2)( x+2) \over \sqrt{1-2x-x^2} + (x+1)} \)

Substituindo o valor limite, o resultado final é:

\(\Longrightarrow \lim_{x \to 0} { \sqrt{1-2x-x^2} - (x+1) \over x} = \lim_{x \to 0} {(-2)( x+2) \over (\sqrt{1-2x-x^2} + (x+1))} \)

                                            \(= {(-2)( 0+2) \over (\sqrt{1-2 \cdot 0-0^2} + (0+1))} \)

                                            \(= {-4 \over (1 + 1)} \)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \lim_{x \to 0} { \sqrt{1-2x-x^2} - (x+1) \over x} = -2 $}\)