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escrever as equações paramétricas da tangente a circunferência , x=xo + rcost e y=yo+rsent no ponto (x1,y1)


1 resposta(s) - Contém resposta de Especialista

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RD Resoluções Verified user icon

Há mais de um mês

Dada a curva parametrizada:

\(\gamma(t)=(x_0+r\ cos\ t,y_0+r\ sen\ t)\)

Vamos determinar a equação paramétrica da reta tangente à curva. Para começar, vamos determinar o vetor tangente à curva, dado por sua derivada:

\(T(t)=\gamma'(t)=(-r\ sen\ t,r\ cos\ t)\)

Queremos, então, uma reta que passe por \(\gamma(t)=(x_1,y_1)\) e tenha vetor diretor \(T(t)\):

\(X = \gamma(t)+\lambda T(t)=(x_0+r\ cos\ t,y_0+r\ sen\ t)+\lambda(-r\ sen\ t,r\ cos\ t)\)

Substituindo o ponto dado, isto é:

\(x_1=x_0+r\ cos\ t\\ y_1=y_0+r\ sen\ t\)

Temos:

\(X =(x_1,y_1)+\lambda(y_0-y_1,x_1-x_0)=(x_1+\lambda y_0-\lambda y_1,y_1+\lambda x_1-\lambda x_0)\)

Escrevendo no formato de sistema, temos:

\(x = x_1+\lambda(y_0-y_1)\\ y = y_1+\lambda(x_1-x_0)\)

Isolando \(\lambda\) na primeira equação e substituindo na segunda, temos:

\(y = y_1+\left({x-x_1\over y_0-y_1}\right)(x_1-x_0)\Rightarrow\boxed{y=y_1-\left({x_1-x_0\over y_1-y_0}\right)(x-x_1)}\)

Dada a curva parametrizada:

\(\gamma(t)=(x_0+r\ cos\ t,y_0+r\ sen\ t)\)

Vamos determinar a equação paramétrica da reta tangente à curva. Para começar, vamos determinar o vetor tangente à curva, dado por sua derivada:

\(T(t)=\gamma'(t)=(-r\ sen\ t,r\ cos\ t)\)

Queremos, então, uma reta que passe por \(\gamma(t)=(x_1,y_1)\) e tenha vetor diretor \(T(t)\):

\(X = \gamma(t)+\lambda T(t)=(x_0+r\ cos\ t,y_0+r\ sen\ t)+\lambda(-r\ sen\ t,r\ cos\ t)\)

Substituindo o ponto dado, isto é:

\(x_1=x_0+r\ cos\ t\\ y_1=y_0+r\ sen\ t\)

Temos:

\(X =(x_1,y_1)+\lambda(y_0-y_1,x_1-x_0)=(x_1+\lambda y_0-\lambda y_1,y_1+\lambda x_1-\lambda x_0)\)

Escrevendo no formato de sistema, temos:

\(x = x_1+\lambda(y_0-y_1)\\ y = y_1+\lambda(x_1-x_0)\)

Isolando \(\lambda\) na primeira equação e substituindo na segunda, temos:

\(y = y_1+\left({x-x_1\over y_0-y_1}\right)(x_1-x_0)\Rightarrow\boxed{y=y_1-\left({x_1-x_0\over y_1-y_0}\right)(x-x_1)}\)

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Adeilson

Há mais de um mês

Das informações dadas você conclui que: (x-xo)²+(y-yo)²=r²(cos²t+sen²t)=r².1=r², ou seja, a circunferência passa pelo centro C(xo,yo) e tem raio r. Seja u a reta que passa pelos pontos
(x1,y1) e (xo,yo), o coeficiente angular de u será:

m(u)=(yo-y1)/(xo-x1), seja agora a reta v tangente àcircunferência no ponto (x1,y1) e, portanto, perpendicular à u nesse ponto, então o coeficiente angular da reta v será:

m(v)=-1/m(u)=-(xo-x1)/(yo-y1), agora é simples é obter a equação de v.
v: y-y1=-[(xo-x1)/(yo-y1)](x-x1)

Fazendo x-x1=t => x=x1+t => y-y1=-[(xo-x1)/(yo-y1)]t, essas são, portanto, as equações procuradas. Existe, claro, uma infinidade de equações paramétricas para esta reta.

x=x1+t

y=-[(xo-x1)/(yo-y1)]t + y1

 

 

 

Essa pergunta já foi respondida por um dos nossos especialistas