Vamos resolver a equação diferencial de segunda ordem y'' + y = tg x

O primeiro passo, é resolver a equação homogênea associada com ela, ou seja,

y'' + y = 0

Seja y = A*e^(r*x)

y'' = A*r²*e^(r*x)

r² + 1 = 0

r = +/- i

Assim, y = c1*sen(x) + c2*cos(x)

Agora, para achar a solução geral da equação, vamos usar o método da variação dos parâmetros.

Então, seja c1 e c2 equações dependentes de x, u1(x) e u2(x) respectivamente.

Assim, y = u1(x)*sen(x) + u2(x)*cos(x)

Agora, precisamos achar a derivada de segunda ordem dele, para substituir na equação inicial e encontrar a solução particular.

y' = u1'(x)*sen(x) + u1(x)*cos(x) + u2'(x)*cos(x) - u2(x)sen(x)

Vamos supor que u1'(x)*sen(x) + 2'(x)*cos(x) = 0

Agora, y' = u1(x)*cos(x) - u2(x)sen(x)

Derivando de novo,

y'' = -u1(x)*sen(x) + u1(x)*cos(x) - u2'(x)sen(x) - u2(x)cos(x)

Substituindo y e y'' na equação inicial temos:

-u1(x)*sen(x) + u1(x)*cos(x) - u2'(x)sen(x) - u2(x)cos(x) + u1(x)*sen(x) + u2(x)*cos(x) = tg x

u1'(x)cos(x) - u2'(x)sen(x) = tg x

Usando u1'(x)sen(x) + u2'(x)cos(x) = 0

Para isolar o u1'(x), temos  u1'(x) = -u2'(x)*cotg(x)

Substituindo isso na equação u1'(x)cos(x) - u2'(x)sen(x) = tg x

-u2'(x)*cotg(x)*cos(x) - u2'(x)*sen(x) = tg x

Depois de algumas manipulações, temos que 

u2'(x) = -sen(x)*tg(x)

Substituindo a expressão acima em u1'(x) = -u2'(x)*cotg(x) temos

u1'(x) = sen(x) => u1(x) = -cos(x) + k

u2(x) = ∫(-sen(x)tg(x))dx = -∫sen²(x)/cos(x)dx = -∫(1-cos²x)/cosx dx = -∫secxdx + ∫cosxdx

-ln|sec x + tg x| + sen(x) + k2

Assim, temos que a solução particular da equação é:

yp(x) = -cos(x)*sen(x) + (-ln|sec x + tg x| + sen(x))*cos(x) => yp(x) = -cos(x)*ln|sec x + tg x|

E a solução geral é:

y = c1*sen(x) + c2*cos(x) - cos(x)*ln|sec x + tg x|

Logo, y = cos(x)ln(sec x + tg x) não é uma solução da equação dada, na verdade, y'' + y = -tg x

\(\[\begin{align} & Resolvendo: \\ & y''\text{ }+\text{ }y\text{ }=\text{ }0 \\ & Sejay=A.{{e}^{(rx)}} \\ & {y}''=A.r{}^\text{2}\text{.}{{e}^{(rx)}} \\ & r{}^\text{2}\text{ }+\text{ }1\text{ }=\text{ 0} \\ & r\text{ }=\text{ }\pm \text{ }i \\ & y\text{ }=\text{ }c1sen\left( x \right)\text{ }+\text{ }c2cos\left( x \right) \\ \end{align}\] \)
\(\[\begin{align} & Substituindo: \\ & -u1\left( x \right)sen\left( x \right)\text{ }+~u1\left( x \right).cos\left( x \right)\text{ }-\text{ }u2'\left( x \right)sen\left( x \right)\text{ }-\text{ }u2\left( x \right)cos\left( x \right)\text{ }+\text{ }u1\left( x \right).sen\left( x \right)\text{ }+\text{ }u2\left( x \right).cos\left( x \right)\text{ }=\text{ }tg\text{ }x \\ & u1'\left( x \right)cos\left( x \right)\text{ }-~u2'\left( x \right)sen\left( x \right)\text{ }=\text{ }tg\text{ }x \\ & \mathbf{u1}'\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{sen}\left( \mathbf{x} \right)\text{ }+\text{ }\mathbf{u2}'\left( \mathbf{x} \right)\mathbf{cos}\left( \mathbf{x} \right)\text{ }=\text{ }\mathbf{0} \\ & u1'\left( x \right)cos\left( x \right)\text{ }-~u2'\left( x \right)sen\left( x \right)\text{ }=\text{ }tg\text{ }x \\ & -u2'\left( x \right).cotg\left( x \right).cos\left( x \right)\text{ }-\text{ }u2'\left( x \right).sen\left( x \right)\text{ }=\text{ }tg\text{ }x \\ & u2'\left( x \right)\text{ }=\text{ }-sen\left( x \right).tg\left( x \right) \\ & u1'\left( x \right)\text{ }=\text{ }-u2'\left( x \right).cotg\left( x \right)\text{ }temos \\ & u1'\left( x \right)\text{ }=\text{ }sen\left( x \right)\text{ }\to \text{ }u1\left( x \right)\text{ } \\ & -cos\left( x \right)\text{ }+\text{ }k \\ & u2\left( x \right)\text{ }=\text{ }\int \left( -sen\left( x \right)tg\left( x \right) \right)dx\text{ } \\ & -\int sen{}^\text{2}\left( x \right)/cos\left( x \right)dx\text{ } \\ & -\int secxdx\text{ }+~\int cosxdx \\ & -ln\left| sec\text{ }x\text{ }+\text{ }tg\text{ }x \right|\text{ }+\text{ }sen\left( x \right)\text{ }+\text{ }k2 \\ & yp\left( x \right)\text{ }=\text{ }-cos\left( x \right).sen\left( x \right)\text{ }+\text{ }\left( -ln\left| sec\text{ }x\text{ }+\text{ }tg\text{ }x \right|\text{ }+\text{ }sen\left( x \right) \right).cos\left( x \right)\text{ } \\ & yp\left( x \right)\text{ }=\text{ }-cos\left( x \right).ln\left| sec\text{ }x\text{ }+\text{ }tg\text{ }x \right| \\ & y\text{ }=\text{ }c1.sen\left( x \right)\text{ }+\text{ }c2.cos\left( x \right)\text{ }-\text{ }cos\left( x \right).ln\left| sec\text{ }x\text{ }+\text{ }tg\text{ }x \right| \\ & y''\text{ }+\text{ }y\text{ }=\text{ }-tg\text{ }x \\ \end{align}\] \)