Para determinar a transformada de Laplace do sinal no domínio do tempo \( y(t) = [(1 + 2t)e^t + e^{2t}]u(t) \), precisamos aplicar a transformada de Laplace a cada parte da expressão. 1. Transformada de \( e^{at}u(t) \): A transformada de Laplace de \( e^{at}u(t) \) é \( \frac{1}{s - a} \). 2. Transformada de \( t e^{at}u(t) \): A transformada de Laplace de \( t e^{at}u(t) \) é \( \frac{1}{(s - a)^2} \). Agora, aplicando isso ao nosso sinal: - Para \( (1 + 2t)e^t \): - A parte constante \( 1 \cdot e^t \) tem a transformada \( \frac{1}{s - 1} \). - A parte \( 2t e^t \) tem a transformada \( 2 \cdot \frac{1}{(s - 1)^2} \). Portanto, a transformada de \( (1 + 2t)e^t \) é: \[ \frac{1}{s - 1} + 2 \cdot \frac{1}{(s - 1)^2} \] - Para \( e^{2t} \): - A transformada é \( \frac{1}{s - 2} \). Agora, somando as transformadas: \[ Y(s) = \left( \frac{1}{s - 1} + 2 \cdot \frac{1}{(s - 1)^2} \right) + \frac{1}{s - 2} \] Simplificando isso, você deve encontrar a forma correta que se encaixa nas opções dadas. Analisando as alternativas: A) \( Y(s) = \frac{3}{3s + 2} \) B) \( Y(s) = \frac{5}{s - 1} \) C) \( Y(s) = \frac{5}{s + 1} \) D) \( Y(s) = \frac{5}{s - 1} \cdot \frac{3 + 3s + 2} \) E) \( Y(s) = \frac{5}{s + 1} \cdot \frac{3 + 3s + 2} \) Após a análise, a alternativa que mais se aproxima do resultado correto da transformada de Laplace do sinal dado é a B: \( Y(s) = \frac{5}{s - 1} \).