Para determinar a transformada de Laplace \( Y(s) \) do sinal \( y(t) = [(1 + 2t)e^{-t} + e^{2t}]u(t) \), precisamos aplicar a transformada de Laplace em cada parte da expressão. 1. Transformada de \( (1 + 2t)e^{-t}u(t) \): - A transformada de \( e^{-at}u(t) \) é \( \frac{1}{s + a} \). - Para \( (1 + 2t)e^{-t} \), usamos a propriedade da transformada de Laplace para derivadas: \[ \mathcal{L}\{t^n e^{-at} u(t)\} = \frac{n!}{(s + a)^{n + 1}} \] - Portanto, a transformada de \( (1 + 2t)e^{-t} \) é: \[ \mathcal{L}\{e^{-t}\} + 2\mathcal{L}\{t e^{-t}\} = \frac{1}{s + 1} + 2 \cdot \frac{1}{(s + 1)^2} \] 2. Transformada de \( e^{2t}u(t) \): - A transformada de \( e^{at}u(t) \) é \( \frac{1}{s - a} \). - Portanto, a transformada de \( e^{2t} \) é \( \frac{1}{s - 2} \). 3. Somando as transformadas: - Assim, temos: \[ Y(s) = \left( \frac{1}{s + 1} + \frac{2}{(s + 1)^2} \right) + \frac{1}{s - 2} \] Agora, analisando as alternativas dadas: A) \( Y(s) = \frac{5s - 1}{s^3 - 3s + 2} \) B) \( Y(s) = \frac{5s - 1}{53 - 3s - 2} \) C) \( Y(s) = \frac{5s + 1}{A \cdot 53 - 3s - 2} \) D) \( Y(s) = \frac{s^3 + 3s + 2} \) E) \( Y(s) = \frac{5s + 1}{s^3 + 3s + 2} \) Após a análise, a alternativa que mais se aproxima da forma correta da transformada de Laplace, considerando a estrutura e os termos, é a E) \( Y(s) = \frac{5s + 1}{s^3 + 3s + 2} \).