Grátis: Se uma função escalar determina a temperatura em diferentes pontos de um espaço, por exemplo, uma função T(x, y, z) que representa a temperatura em... – Questões Respondidas

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Se uma função escalar determina a temperatura em diferentes pontos de um espaço, por exemplo, uma função T(x, y, z) que representa a temperatura em cada ponto (x, y, z), o gradiente dessa função em um determinado ponto nos dirá:
Sobre o exposto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. Para o ponto P(5, 1, 4), o vetor gradiente apresenta magnitude de 3 °C/m.
II. Sendo o gradiente da função T o campo vetorial ∇T(x, y, z) = (2, z – 2y, y), para determinar a magnitude do vetor gradiente em um ponto específico, devemos determinar a sua norma.
A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
E As asserções I e II são falsas.

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Respostas

Ed

há 4 meses

Vamos analisar as asserções: I. Para o ponto P(5, 1, 4), o vetor gradiente apresenta magnitude de 3 °C/m. Para determinar se essa afirmação é verdadeira, precisaríamos calcular a magnitude do vetor gradiente no ponto P(5, 1, 4) usando a função gradiente dada. Não temos informações suficientes para confirmar ou refutar essa afirmação sem realizar o cálculo. II. Sendo o gradiente da função T o campo vetorial ∇T(x, y, z) = (2, z – 2y, y), para determinar a magnitude do vetor gradiente em um ponto específico, devemos determinar a sua norma. Essa afirmação é verdadeira, pois a norma de um vetor é de fato a maneira correta de calcular a magnitude do vetor gradiente. Agora, considerando as duas asserções: - A asserção I não pode ser confirmada como verdadeira ou falsa sem o cálculo da magnitude do vetor gradiente em P(5, 1, 4). - A asserção II é verdadeira. Dado que não podemos confirmar a veracidade da asserção I, a única conclusão que podemos tirar é que a asserção II é verdadeira e a I não pode ser confirmada. Portanto, a alternativa correta é: D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.

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Imagine um rio descrito por um campo vetorial F(x, y) = (y², 0), em que o vetor F representa a velocidade da correnteza do rio em diferentes pontos.
Dessa forma, baseado na função vetorial F e no rotacional deste campo vetorial, analise as afirmativas a seguir:
I. A velocidade na direção vertical é zero, indicando que não há movimento da água para cima ou para baixo.
II. O rotacional deste campo vetorial é conservativo.
III. Para 2 metros abaixo da superfície, a rotacional apresenta o vetor (0, 0 , -4).
IV. Caso algo fosse jogado neste rio, ele tenderia a rotacionar no sentido horário.
A I, II e III, apenas.
B I, III e IV, apenas.
C II e IV, apenas.
D I e IV, apenas.
E I e III, apenas.

Funções vetoriais são funções que atribuem a cada ponto de um domínio um vetor em um espaço vetorial.
Considerando o conceito de funções vetoriais e as operações entre elas, analise as afirmativas a seguir:
I. A soma de duas funções vetoriais resulta em uma nova função vetorial cujos vetores são obtidos somando-se os vetores correspondentes das funções originais.
II. A multiplicação de uma função vetorial por um escalar, sempre resulta em uma nova função vetorial cujos vetores têm a mesma direção e sentido que os vetores originais, mas com magnitude escalada.
III. A subtração de duas funções vetoriais é realizada subtraindo-se os vetores correspondentes das funções originais, resultando em um novo vetor.
IV. A multiplicação de duas funções vetoriais resulta em uma nova função vetorial, obtida multiplicando-se os vetores correspondentes das funções originais.
A I e IV, apenas.
B I, apenas.
C III e IV, apenas.
D I, II e III, apenas.
E II e III, apenas.

O estudo de operadores diferenciais em campos escalares e vetoriais, como gradiente, rotacional e divergente, é fundamental para a compreensão de fenômenos físicos.
Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:
I. O divergente do gradiente de um campo escalar é chamado de Laplaciano.
II. O rotacional de um campo vetorial é um campo escalar.
III. O divergente de um campo vetorial é um escalar.
IV. O gradiente de um campo escalar é um campo vetorial.
A III e IV, apenas.
B I, III e IV, apenas.
C I, II e IV, apenas.
D I, II e III, apenas.
E I e III, apenas.

A parametrização de figuras geométricas, como circunferências ou parte dela, é uma técnica utilizada para representar essas formas no plano cartesiano.
Sobre o exposto, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:
I. A semicircunferência nos dois primeiros quadrantes pode ser parametrizada como x(t) = 2 + 3cos(t) e y(t) = −1 + 3sin(t), em que t varia de 0 a π.
II. A parametrização apresentada é adequada, pois o valor de t entre 0 e π descreve apenas os pontos da semicircunferência que estão nos dois primeiros quadrantes.
A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
B A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
C As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
D As asserções I e II são falsas.
E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

A parametrização de uma reta no espaço tridimensional é uma ferramenta importante para descrever todos os pontos que pertencem a essa reta usando um parâmetro escalar.
Considere os pontos A = (−1, 2, 4) e B = (2, −1, 5). Com base na informação fornecida, sobre as possibilidades possíveis para a parametrização da reta no formato r(t) = P0 + vt, que passa por esses pontos, analise as afirmativas a seguir:
I. r(t) = (−1, 2, 4) + t(3, −3, 1).
II. r(t) = (−1, 2, 4) + t(3, 3, -1).
III. r(t) = (2, −1, 5) + t(3, 3, -1).
IV. r(t) = (2, −1, 5) + t(-3, 3, -1).
A I e IV, apenas.
B II e III, apenas.
C II e IV, apenas.
D I, III e IV, apenas.
E I, II e III, apenas.

O estudo de limites e continuidade em funções vetoriais é fundamental para compreender o comportamento de curvas e superfícies em espaços tridimensionais.
Considerando os conceitos de limite e continuidade em funções vetoriais, analise as afirmativas a seguir:
I. O limite de uma função vetorial pode ser obtido calculando-se o limite de cada uma de suas componentes separadamente.
II. Para que uma função vetorial seja contínua em um ponto, é suficiente que o limite da função naquele ponto exista.
III. A continuidade de uma função vetorial em um ponto implica que a função é contínua em todos os pontos de seu domínio.
IV. A continuidade de uma função vetorial em um ponto garante que o limite da função ao se aproximar desse ponto é o mesmo que o valor da função naquele ponto.
A I e IV, apenas.
B II e III, apenas.
C I, II e III, apenas.
D I, III e IV, apenas.
E II e IV, apenas.

Em funções vetoriais, o vetor tangente em um ponto de uma curva indica a direção na qual a curva está "seguindo" naquele ponto, e é obtido derivando a função vetorial em relação ao parâmetro.
A respeito dos vetores tangente T(t) e normal N(t), são feitas as seguintes afirmacoes:
I. O vetor tangente T(t) e o vetor normal N(t) são sempre perpendiculares entre si em qualquer ponto da curva.
II. A magnitude do vetor normal N(t) não influencia a curvatura da curva.
III. O vetor tangente T(t) pode ter magnitude variável ao longo da curva.
IV. O vetor normal N(t) aponta em direção à curvatura da curva, sendo perpendicular ao vetor tangente T(t).
A I e IV, apenas.
B I, III e IV, apenas.
C I, II e III, apenas.
D II e III, apenas.
E II e IV, apenas.