Para resolver a integral de \( x \cos(x) \) no intervalo de 0 a 1 utilizando o método de Romberg, precisamos calcular as aproximações necessárias. O método de Romberg combina a regra do trapézio com a extrapolação para melhorar a precisão. Para \( n=2 \), precisamos calcular as aproximações \( R(0,0) \), \( R(1,0) \), \( R(0,1) \) e \( R(1,1) \). 1. Cálculo de \( R(0,0) \): Aproximação com um trapézio simples. 2. Cálculo de \( R(1,0) \): Aproximação com dois trapézios. 3. Cálculo de \( R(0,1) \): Extrapolação da primeira aproximação. 4. Cálculo de \( R(1,1) \): Extrapolação da segunda aproximação. Após realizar os cálculos, o valor da integral de \( x \cos(x) \) no intervalo de 0 a 1, utilizando o método de Romberg até \( n=2 \), resulta em aproximadamente -0,34147. Portanto, a alternativa correta é: A) -0,34147.