Um plano passa pelo ponto (5,-1,3) e dois dos angulos diretores de sua normal são 60° e 45°.Determinar a equação do plano

Vamos considerar o vetor normal n com um módulo unitário.

|n| = 1

Nesse caso os dois primeiros componentes do vetor são cos(60) e cos(45).

Podemos calcular a terceira componente a partir do módulo.

cos(60)^2+cos(45)^2+z^2 = 1^2

(1/2)^2+(sqrt(2)/2)^2+z^2=1

1/4 + 2/4 + z^2 = 1

3/4 + z^2 = 1

z^2 = 1/4

z = + ou - 1/2

Então adotamos n = (1/2, sqrt(2)/2, 1/2)

Pela equação do plano, onde vetor normal n = (n1, n2, n3) e ponto A(a, b, c) no plano:

n1*x + n2*y + n3*z - (n1*a + n2*b + n3*c) = 0

1/2 * x + sqrt(2)/2 * y + 1/2 * z - (1/2 * 5 + sqrt(2)/2 * (-1) +1/2 * 3) = 0

Finalmente a equação desse plano

1/2 * x + sqrt(2)/2 * y + 1/2 * z - (8 - sqrt(2)) / 2 = 0

\(\[\begin{align} & (a,b,c)\cdot (1,0,0) \\ & a=|v|\cdot |Ox|\cos {{\theta }_{1}} \\ & \cos {{\theta }_{1}}=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ & (a,b,c)\cdot (0,1,0) \\ & b=|v|\cdot |Oy|\cos {{\theta }_{2}} \\ & \cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2} \\ & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1 \\ & \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+{{c}^{2}}=1 \\ & |c|=\frac{1}{2} \\ & {{v}_{1}}=\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)e{{v}_{2}}=\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right) \\ & {{r}_{1}}:(1,-2,3)+t\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)ou{{r}_{2}}:(1,-2,3)+t\left( \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{2},-\frac{1}{2} \right). \\ \end{align}\] \)