Para determinar os intervalos nos quais a equação diferencial \( y'' + 4x^2y' + 4y = \cos(x) \) tem solução única para um problema de valor inicial, precisamos analisar a equação e as condições de existência e unicidade das soluções. A equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para que exista uma solução única, precisamos que a função e suas derivadas sejam contínuas no intervalo considerado. A equação não apresenta singularidades para \( x > 0 \) e \( x < 0 \), pois os coeficientes são contínuos em todo o conjunto dos números reais. Portanto, a solução única pode ser garantida em todo o intervalo real. Analisando as alternativas: A) \( x > 0 \) - Correto, mas não é o único intervalo. B) \( x < 0 \) - Correto, mas não é o único intervalo. C) \( x < 0 \) - Repetição da alternativa B. D) \( x > 0 \) - Repetição da alternativa A. E) \( -\infty < x < \infty \) - Correto, pois abrange todo o intervalo real. A alternativa que garante a solução única para todo o intervalo é: E) \( -\infty < x < \infty \).